【題目】(12分)如圖,已知拋物線與直線AB相交于A(﹣3,0),B(0,3)兩點.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)設(shè)C是拋物線對稱軸上的一動點,求使∠CBA=90°的點C的坐標(biāo);
(3)探究在拋物線上是否存在點P,使得△APB的面積等于3?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)C(﹣1,4);(3)(﹣1,4)或(﹣2,3)或(,)或(,).
【解析】
試題(1)把點A,B兩點的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式,求出b和c的值即可;
(2)過點B作CB⊥AB,交拋物線的對稱軸于點C,過點C作CE⊥y軸,垂足為點E,求出點C的橫坐標(biāo),再求出OE的長,即可得到點C的縱坐標(biāo);
(3)假設(shè)在在拋物線上存在點P,使得△APB的面積等于3,連接PA,PB,過P作PD⊥AB于點D,作PF∥y軸交AB于點F,在Rt△OAB中,易求AB=,設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,),設(shè)點F的坐標(biāo)為(m,m+3),再分兩種情況討論:①當(dāng)點P在直線AB上方時,②當(dāng)點P在直線AB下方時,分別求出符合條件點P的坐標(biāo)即可.
試題解析:(1)把點A(﹣3,0),B(0,3)代入得:,解得:,∴拋物線的解析式是;
(2)如圖1:過點B作CB⊥AB,交拋物線的對稱軸于點C,過點C作CE⊥y軸,垂足為點E,∵,∴拋物線對稱軸為直線x=﹣1,∴CE=1,∵AO=BO=1,∴∠ABO=45°,∴∠CBE=45°,∴BE=CE=1,∴OE=OB+BE=4,∴點C的坐標(biāo)為(﹣1,4);
(3)假設(shè)在在拋物線上存在點P,使得△APB的面積等于3,如圖2:連接PA,PB,過P作PD⊥AB于點D,作PF∥y軸交AB于點F,在Rt△OAB中,易求AB==,∵S△APB=3,∴PD=,∵∠PFD=∠ABO=45°,∴PF=,設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,),∵A(﹣3,0),B(0,3),∴直線AB的解析式為,∴可設(shè)點F的坐標(biāo)為(m,m+3),
①當(dāng)點P在直線AB上方時,可得:,解得:m=﹣1或﹣2,∴符合條件的點P坐標(biāo)為(﹣1,4)或(﹣2,3),
②當(dāng)點P在直線AB下方時,可得:,解得:m=或,∴符合條件的點P坐標(biāo)為(,)或(,);
綜上可知符合條件的點P有4個,坐標(biāo)分別為:(﹣1,4)或(﹣2,3)或(,)或(,).
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,將△ABD沿射線DB平移得到△A'B'D',連接B′C,D′C,則B'C+D'C的最小值是_____.
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【題目】如圖1,在矩形ABCD中,動點P從點A出發(fā),沿A→D→C→B的路徑運動.設(shè)點P運動的路程為x,△PAB的面積為y.圖2反映的是點P在A→D→C運動過程中,y與x的函數(shù)關(guān)系.請根據(jù)圖象回答以下問題:
(1)矩形ABCD的邊AD=________,AB=________;
(2)寫出點P在C→B運動過程中y與x的函數(shù)關(guān)系式,并在圖2中補全函數(shù)圖象.
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【題目】如圖,拋物線過點, . 為線段OA上一個動點(點M與點A不重合),過點M作垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點P、N.
(1)求直線AB的解析式和拋物線的解析式;
(2)如果點P是MN的中點,那么求此時點N的坐標(biāo);
(3)如果以B,P,N為頂點的三角形與相似,求點M的坐標(biāo).
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【題目】如圖,E,F分別是矩形ABCD的邊AD,AB上的點,若EF=EC,且EF⊥EC.
(1)求證:AE=DC;
(2)已知DC=,求BE的長.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交AC,BC于點D,E,點F在AC的延長線上,且∠BAC=2∠CBF.
(1)求證:BF是⊙O的切線;
(2)若⊙O的直徑為3,sin∠CBF=,求BC長.
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【題目】圖1為含銳角是30°的直角三角尺,其邊框為透明塑料制成(內(nèi)、外直角三角形對應(yīng)邊互相平行且三處所示寬度相等).將三角尺移向直徑為4cm的⊙O,它的內(nèi)Rt△ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑,它的外Rt△A′B′C′的直角邊A′C′恰好與⊙O相切(如圖2).
(1)求直角三角尺邊框的寬;
(2)求邊B′C′的長.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函數(shù)y1=的圖象經(jīng)過點A,反比例函數(shù)y2=的圖象經(jīng)過點B,則下列關(guān)于m,n的關(guān)系正確的是( )
A.m=nB.m=﹣nC.m=﹣nD.m=﹣3n
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