【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交AC,BC于點(diǎn)D,E,點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上,且∠BAC=2∠CBF.
(1)求證:BF是⊙O的切線;
(2)若⊙O的直徑為3,sin∠CBF=,求BC長(zhǎng).
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)連接AE,利用直徑所對(duì)的圓周角是直角,從而判定直角三角形,利用直角三角形兩銳角相等得到直角,從而證明∠ABF=90°.
(2)解直角三角形即可得到結(jié)論.
解:(1)證明:連接AE,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠AEB=90°,
∴∠1+∠2=90°.
∵AB=AC,
∴2∠1=∠CAB.
∵∠BAC=2∠CBF,
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直徑,
∴直線BF是⊙O的切線;
(2)解:過點(diǎn)C作CH⊥BF于H.
∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,
∴sin∠1=,
∵在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=3,
∴BE=ABsin∠1=3×=,
∵AB=AC,∠AEB=90°,
∴BC=2BE=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn),與軸交于點(diǎn).
求這條拋物線的解析式;
如圖1,點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)四邊形的面積最大時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);
如圖2,線段的垂直平分線交軸于點(diǎn),垂足為為拋物線的頂點(diǎn),在直線上是否存在一點(diǎn),使的周長(zhǎng)最?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且,拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn),,如圖所示.
(1)求這個(gè)拋物線的解析式;
(2)設(shè)(1)中的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為,拋物線的頂點(diǎn)為,試求出點(diǎn),的坐標(biāo),并判斷的形狀;
(3)點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)和點(diǎn)重合),過點(diǎn)作軸的垂線,交拋物線于點(diǎn),點(diǎn)在直線上,距離點(diǎn)為個(gè)單位長(zhǎng)度,設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,的面積為,求出與之間的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)如圖,已知拋物線與直線AB相交于A(﹣3,0),B(0,3)兩點(diǎn).
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)設(shè)C是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn),求使∠CBA=90°的點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△APB的面積等于3?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,點(diǎn)在邊上(點(diǎn)與點(diǎn)不重合),以點(diǎn)為圓心,為半徑作⊙交邊于另一點(diǎn),,交邊于點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域;
(3)延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),聯(lián)結(jié),若與相似,求線段的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解我市某中學(xué)“書香校園”的建設(shè)情況,在該校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生,調(diào)查了解他們一周閱讀課外書籍的時(shí)間,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖(每小組的時(shí)間包含最小值,不包含最大值),根據(jù)圖中信息估計(jì)該校1500名學(xué)生中,一周課外閱讀時(shí)間不少于4小時(shí)的人數(shù)約為( )
A.300B.600C.900D.1200
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在當(dāng)前國際“新冠肺炎”疫情防控的緊要關(guān)頭,“中國制造”呈現(xiàn)出強(qiáng)大實(shí)力.據(jù)國家海關(guān)總局統(tǒng)計(jì),4月25日當(dāng)天,中國的口罩出口量就達(dá)10.6億只.將數(shù)10.6億用科學(xué)記數(shù)法表示為m10n,那么m,n的值分別為()
A.10.6,8B.10.6,9C.1.06,9D.1.06,10
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①abc<0;②b2﹣4ac<0;③2a+b>0;④a﹣b+c<0,其中正確的個(gè)數(shù)( 。
A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明與小亮玩游戲,如圖,兩組相同的紙牌,每組三張,牌面數(shù)字分別是3,4,5.他們將卡片背面朝上,分組充分洗勻后,從每組紙牌中各摸出一張,稱為一次游戲.當(dāng)摸出的兩張紙牌的牌面數(shù)字之和大于8,則小明獲勝;當(dāng)摸出的兩張紙牌的牌面數(shù)字之和小于8,則小亮獲勝.
(1)請(qǐng)你用列表法或畫樹狀圖法求出小明獲勝的概率;
(2)這個(gè)游戲公平嗎?請(qǐng)說明理由.
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