Question

【題目】圖1為含銳角是30°的直角三角尺，其邊框為透明塑料制成（內、外直角三角形對應邊互相平行且三處所示寬度相等）．將三角尺移向直徑為4cm的⊙O，它的內Rt△ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑，它的外Rt△A′B′C′的直角邊A′C′恰好與⊙O相切（如圖2）．

（1）求直角三角尺邊框的寬；

（2）求邊B′C′的長．

Answer 1

【答案】（1）1cm；（2）+3

【解析】

（1）過O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，由AC與A′C′，根據與平行線中的一條直線垂直，與另一條也垂直，得到OD與AC垂直，可得DE為三角尺的寬， 由A′C′與圓O相切，根據切線的性質得到OD為圓的半徑，根據直徑AB的長，求出半徑OA，OB及OD的長，在直角三角形AOE中，根據∠A＝30°，利用直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得出OE等于OA的一半，由OA的長求出OE的長，再由OD﹣OE求出DE的長，即三角尺的寬為1；

（2）設直線AC交A′B′于M，交B′C′于N，過A點作AH⊥A′B′于H，則有∠AMH＝30°，AH＝1，得到AM＝2AH＝2，可計算出MN，在Rt△MB′N中利用含30°的直角三角形三邊的關系得到B′N長，即可得出答案．

解：（1）過O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，

∵AC∥A′C′，

∴AC⊥OD，

∵A′C′與⊙O相切，AB為圓O的直徑，且AB=4cm，

∴OD=OA=OB=AB=×4=2（cm），

在Rt△AOE中，∠A=30°，

∴OE=OA=×2=1（cm），

∴DE=OD-OE=2-1=1（cm）

則三角尺的寬為1cm；

（2）設直線AC交A′B′于M，交B′C′于N，過A點作AH⊥A′B′于H，

則有∠AMH=30°，AH=1，

得到AM=2AH=2，

∴MN=AM+AC+CN=3+2，

∵在Rt△MB′N中，∠B′MN=30°，

∴B′N＝MN×tan30°＝（3+2）×＝（+2）cm，

則B′C′=B′N+NC′=+3．

∴B′C′=3+．