Question

【題目】如圖，已知直線l切⊙O于點(diǎn)A，B為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥l，垂足為點(diǎn)C，連接AB、OB．

（1）求證：∠ABC＝∠ABO；

（2）若AB＝，AC＝1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）⊙O的半徑是．

【解析】

（1）連接OA，求出OA∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠OBA＝∠OAB，∠OBA＝∠ABC，即可得出答案；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OD＝AC＝1，根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)垂徑定理求出BD，再根據(jù)勾股定理求出OB即可．

（1）證明：連接OA，

∵OB＝OA，

∴∠OBA＝∠OAB，

∵AC切⊙O于A，

∴OA⊥AC，

∵BC⊥AC，

∴OA∥BC，

∴∠OBA＝∠ABC，

∴∠ABC＝∠ABO；

（2）解：過(guò)O作OD⊥BC于D，

∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC，

∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°，

∴OD＝AC＝1，

在Rt△ACB中，AB＝，AC＝1，由勾股定理得：BC＝＝3，

∵OD⊥BC，OD過(guò)O，

∴BD＝DC＝BC＝＝1.5，

在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB＝，

即⊙O的半徑是．