Question

【題目】如圖，已知、兩點的坐標分別為，，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點和點．

（1）求直線與反比例函數(shù)的解析式；

（2）求的度數(shù)；

（3）將繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)角(為銳角)，得到，當為多少度時，并求此時線段的長度．

Answer 1

【答案】（1）直線AB的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；（2）∠ACO=30°；（3）當為60°時，OC'⊥AB，AB'=4．

【解析】

（1）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將A與B坐標代入求出k與b的值，確定出直線AB的解析式，將D坐標代入直線AB解析式中求出n的值，確定出D的坐標，將D坐標代入反比例解析式中求出m的值，即可確定出反比例解析式；

（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出C坐標，過C作CH垂直于x軸，在直角三角形OCH中，由OH與HC的長求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠COH的度數(shù)，在三角形AOB中，由OA與OB的長求出tan∠ABO的值，進而求出∠ABO的度數(shù)，由∠ABO-∠COH即可求出∠ACO的度數(shù)；

（3）過點B1作B′G⊥x軸于點G，先求得∠OCB=30°，進而求得α=∠COC′=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出∠BOB′=α=60°，解直角三角形求得B′的坐標，然后根據(jù)勾股定理即可求得AB′的長．

解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），

將A(0，4)，B(-4，0)代入得：

解得

，

故直線AB解析式為y=x+4，

將D(2，n)代入直線AB解析式得：n=2+4=6，

則D(2，6)，

將D坐標代入中，得：m=12，

則反比例解析式為；

（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：

解得解得：

或，

則C坐標為(-6，-2)，

過點C作CH⊥x軸于點H，

在Rt△OHC中，CH=，OH=3，

∵tan∠COH=，

∴∠COH=30°，

∵tan∠ABO=，

∴∠ABO=60°，

∴∠ACO=∠ABO-∠COH=30°；

（3）過點B′作B′G⊥x軸于點G，

∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，

∴∠COC′=60°，

∴α=60°．

∴∠BOB′=60°，

∴∠OB′G=30°，

∵OB′=OB=4，

∴OG=OB′=2，B′G=2，

∴B′(-2，2)，

∴AB′==4．