【題目】已知:PA=PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使PD兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).

(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時,求ABPD的長;

(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大。

【答案】

1】(1如圖11,作AEPB于點(diǎn)E

∵△APE中,APE=45°,

,

Rt△ABE中,AEB=90°

…………1

解法一:如圖12,因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為正方形,可將

PAD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到,

可得≌△,

=90°,=45°=90°

.分

…………2

解法二:如圖13,過點(diǎn)PAB的平行線,與DA的延長線交于F,設(shè)DA的 延長線交PBG

Rt△AEG中,可得

,

Rt△PFG中,可得,

Rt△PDF中,可得

2】(2)如圖14所示,將PAD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到 PD 的最大值即為的最大值.

∵△中,,

P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè),

當(dāng)三點(diǎn)共線時,取得最大值(見圖15.

此時,即的最大值為6. …………4

此時APB=180°=135°. …………5

【解析】

(1)作輔助線,過點(diǎn)AAEPB于點(diǎn)E,在RtPAE中,已知∠APE,AP的值,根據(jù)三角函數(shù)可將AE,PE的值求出,由PB的值,可求BE的值,在RtABE中,根據(jù)勾股定理可將AB的值求出;
PD的值有兩種解法,解法一:可將PAD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到P'AB,可得PAD≌△P'AB,求PD長即為求P′B的長,在RtAPP中,可將PP′的值求出,在RtPPB中,根據(jù)勾股定理可將P′B的值求出;
解法二:過點(diǎn)PAB的平行線,與DA的延長線交于F,交PBG,在RtAEG中,可求出AG,EG的長,進(jìn)而可知PG的值,在RtPFG中,可求出PF,在RtPDF中,根據(jù)勾股定理可將PD的值求出;
(2)將PAD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到P'AB,PD的最大值即為P'B的最大值,故當(dāng)P'、P、B三點(diǎn)共線時,P'B取得最大值,根據(jù)P'B=PP'+PB可求P'B的最大值,此時∠APB=180°-APP'=135°

(1)

如圖,作AEPB于點(diǎn)E,

∵△APE中,∠APE=45°,PA

AEPE×=1,

PB=4,∴span>BEPBPE=3,

Rt△ABE中,∠AEB=90°,

AB

解法一:

如圖,因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為正方形,可將

PAD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB

可得△PAD≌△P'AB,PDP'BPAP'A

∴∠PAP'=90°,∠APP'=45°,∠P'PB=90°

PP′=PA=2,

PDPB

解法二:

如圖,過點(diǎn)PAB的平行線,與DA的延長線交于F,與DA

延長線交PBG

Rt△AEG中,

可得AG,EGPGPEEG

Rt△PFG中,

可得PFPGcos∠FPGPGcos∠ABEFG

Rt△PDF中,可得,

PD

(2)如圖所示,

將△PAD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°

得到△P'ABPD的最大值即為P'B的最大值,

∵△P'PB中,P'BPP'+PB,PP′= PA=2,PB=4,

PD兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè),

∴當(dāng)P'、P、B三點(diǎn)共線時,P'B取得最大值(如圖)

此時P'BPP'+PB=6,即P'B的最大值為6.

此時∠APB=180°﹣∠APP'=135度.

考查綜合應(yīng)用解直角三角形、直角三角形性質(zhì),進(jìn)行邏輯推理能力和運(yùn)算能力,在解題過程中通過添加輔助線,確定P′B取得最大值時點(diǎn)P′的位置.

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1)在∠FCE旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)∠FCA=ECA時,如圖1,求證:AE=AF

2)在∠FCE旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)∠FCA≠ECA時,如圖2,如果∠B=30°CB=2,用等式表示線段AEAF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

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(1)請直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)求二次函數(shù)的解析式.

(3)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍.

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(1)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)_____________;

(2)l經(jīng)過點(diǎn)B,C,l的解析式;

(3)設(shè)lx軸交于點(diǎn)MN,當(dāng)l的頂點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時求線段MN的值;當(dāng)頂點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)或邊上時直接寫出線段MN的取值范圍;

(4)l經(jīng)過正方形ABCD的兩個頂點(diǎn)直接寫出所有符合條件的c的值

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第二環(huán)節(jié):出口成詩、飛花令、超級飛花令、詩詞接龍(分別用表示).

1)請用畫樹狀圖或列表的方法表示馬小梅參加總決賽抽取題目的所有可能結(jié)果;

2)求馬小梅參加總決賽抽取題目都是飛花令題目(初級飛花令、飛花令、超級飛花令)的概率.

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