Question

【題目】

已知：如圖(1)，在平面直角坐標系中，點，，分別在坐標軸上，且，的面積為，點從點出發(fā)沿軸負方向以個單位長度/秒的速度向下運動，連接，，點為上的中點.

(1)直接寫出坐標___________，___________，___________.

(2)設點運動的時間為秒，問：當與垂直且相等時，求此時的值？并說明理由.

(3)如圖(2)，在第四象限內有一動點，連接，，，點在第四象限內運動，當，判斷是否平分，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（-4，0），（4，0），（0，-4）；（2）當t=2時，DP與DB垂直且相等，理由見詳解；（3）QA平分∠PQB，見詳解.

【解析】

（1）根據三角形的面積公式計算，分別求出OA，OB，OC，得到點A，B，C的坐標；
（2）作DM⊥x軸于點M，作DN⊥y軸于點N，根據勾股定理用t表示出DB，DP，PB，然后再根據勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）根據等邊三角形的判定和性質得到∠APB=60°，進而得到A，B，Q，P四點共圓，再根據圓周角定理解答．

解：（1）∵OA=OB=OC，
∴AB=2OA，
∵∠AOC=90°，△ABC的面積為16，
∴×AB×OC=16，即×2OA×OC=16，
∴OA=OC=OB=4，
∴A（-4，0），B（4，0），C（0，-4），
（2）當t=2秒時，即CP=OC時，DP與DB垂直且相等．
理由如下：作DM⊥x軸于點M，作DN⊥y軸于點N，

則OM∥OC，DN∥OA，
∵D為線段AC中點，
∴DM=2，OM=2，DN=2，NC=2，
∴BD2=DM2+BM2=40．

∴DP2=DN2+PN2=4+（2+2t）2=8+8t+4t2，PB2=OB2+PO2=16+（4+2t）2=32+16t+4t2，
當DP與DB垂直時，有40+8+8t+4t2=32+16t+4t2，
解得，t=2，
當t=2時，8+8t+4t2=40，
∴DP=DB，
∴當t=2時，DP與DB垂直且相等；
（3）QA平分∠PQB，

理由：∵OA=OB，PO⊥AB，
∴PA=PB，又∠ABP=60°，
∴△PAB為等邊三角形，
∴∠APB=60°，
∵∠ABP=60°，∠PQA=60°，
∴∠ABP=∠PQA，
∴A，B，Q，P四點共圓，
∴∠AQB=∠APB=60°，
∴∠AQB=∠AQP，即QA平分∠PQB．