【題目】在等腰△OAB和等腰△OCD中,OA=OB,OC=OD,連接AC、BD交于點(diǎn)M.
(1)如圖1,若∠AOB=∠COD=40°:
①AC與BD的數(shù)量關(guān)系為 ;
②∠AMB的度數(shù)為 ;
(2)如圖2,若∠AOB=∠COD=90°:
①判斷AC與BD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由;
②求∠AMB的度數(shù);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)∠CAB=30°,且點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出OD與OA之間存在的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1)①AC=BD;②40°;(2)①AC=BD,理由見(jiàn)解析;②90°;(3)OD=OA或OD=OA
【解析】
(1)證明△BOD≌△AOC,得AC=BD,∠OBD=∠OAC,再利用內(nèi)角和定理求∠AMB的度數(shù);
(2)類比(1)證明△BOD≌△AOC,得AC=BD,∠OBD=∠OAC,再利用內(nèi)角和定理求∠AMB的度數(shù);
(3)根據(jù)條件可知D、B、C三點(diǎn)共線,畫(huà)出兩種情況的圖形,利用(2)中結(jié)論及根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和勾股定理將AC、BC均用AB表示,進(jìn)而推出CD與AB的關(guān)系,再根據(jù)CD=OD,AB=OA,即可得出OD與OA的數(shù)量關(guān)系
(1)如圖1所示,
①∵∠AOB=∠COD
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD
∴∠BOD=∠AOC
在△BOD和△AOC中
∴△BOD≌△AOC(SAS)
∴AC=BD.
故答案為:AC=BD;
②∵△BOD≌△AOC
∴∠OBD=∠OAC
∵∠AOB=40°,
∴∠OAB+∠OBA=180°﹣∠AOB=180°﹣40°=140°
又∵∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠ABD+∠OBD
∴∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠ABD+∠OAC=140°,
∴∠MAB+∠ABM=140°
∵在△ABM中,∠AMB+∠MAB+ABM=180°,
∴∠AMB=40°
故答案為:40°;
(2)如圖2所示,
①AC=BD,
∵∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD,
∴∠BOD=∠AOC,
在△BOD和△AOC中
,
∴△BOD≌△AOC(SAS)
∴BD=AC
②∵△BOD≌△AOC,
∴∠OBD=∠OAC,
又∵∠OAB+∠OBA=90°,
∠ABO=∠ABM+∠OBD,
∠MAB=∠MAO+∠OAB,
∴∠MAB+∠MBA=90°,
又∵在△AMB中,∠AMB+∠ABM+∠BAM=180°,
∴∠AMB=180°﹣(∠ABM+∠BAM)=180°﹣90°=90°;
(3)如圖3所示,∠AOB=∠COD=90°,OA=OB,OC=OD,∠CAB=30°,
∴∠OAB=∠OBA=∠OCD=∠ODC=45°,AB=OA,CD= OC,
由(2)得△BOD≌△AOC(SAS)
∴∠ACO=∠BDO=45°,BD=AC
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=90°
∴∠ACB=90°
∴BC=AB
由勾股定理得:AC==AB
∴CD=AC﹣BC=AB
∴OC=×OA
∴OD=OC=OA.
如圖4,同上由勾股定理得:AC==AB
∴CD=AC+BC=AB
∴OC=×OA
∴OD=OC=OA.
綜上所述,OD= OA或OD=OA.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn),,.
求證:四邊形是菱形;
若,菱形的面積為,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
已知:如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),,分別在坐標(biāo)軸上,且,的面積為,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿軸負(fù)方向以個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向下運(yùn)動(dòng),連接,,點(diǎn)為上的中點(diǎn).
(1)直接寫(xiě)出坐標(biāo)___________,___________,___________.
(2)設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒,問(wèn):當(dāng)與垂直且相等時(shí),求此時(shí)的值?并說(shuō)明理由.
(3)如圖(2),在第四象限內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn),連接,,,點(diǎn)在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng),當(dāng),判斷是否平分,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,為的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且分別交于,交于,點(diǎn)是的中點(diǎn),且,則下列結(jié)論:;;四邊形為菱形;.其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D,E分別在直線BC,AC上.
(1)如圖1,當(dāng)BD=CE時(shí),連接AD與BE交于點(diǎn)P,則線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是____________;∠APE的度數(shù)是_______________;
(2)如圖2,若“BD=CE”不變,AD與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,那么(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)如圖3,若AE=BD,連接DE與AB邊交于點(diǎn)M,求證:點(diǎn)M是DE的中點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,邊長(zhǎng)分別為和的兩個(gè)正方形和并排放在一起,連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn),交于點(diǎn),則
A. B. 2 C. 2 D. 1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一架方梯長(zhǎng)25米,如圖,斜靠在一面墻上,梯子底端離墻7米.
(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高?
(2)如果梯子的頂端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米?
(3)當(dāng)梯子的頂端下滑的距離與梯子的底端水平滑動(dòng)的距離相等時(shí),這時(shí)梯子的頂端距地面有多高?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線與x軸交于點(diǎn)A,與直線交于點(diǎn)B.
(1)求點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)直接寫(xiě)出y1>y2時(shí)x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,中,平分,,分別交,,,的延長(zhǎng)線于,,,,已知下列四個(gè)式子:①;②;③;④.其中正確的式子有__________(填寫(xiě)序號(hào)).
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