Question

【題目】已知PA＝2，PB＝4，以AB為邊作等邊△ABC，使P、C落在直線AB的兩側，連接PC．

（1）如圖，當∠APB＝30°時，

①按要求補全圖形；②求AB和PC的長．

（2）當∠APB變化時，其它條件不變，則PC的最大值為　 　，此時∠APB＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②AB＝2，PC＝2；（2）2+4，120°．

【解析】

（1）①按要求補全圖形即可；

②作AH⊥PB于H，在Rt△APH中，由直角三角形的性質得出PH＝PA＝1，由勾股定理得出PH＝，得出BH＝3，在Rt△AHB中，由勾股定理得AB＝2；再由旋轉的性質和勾股定理求出P'B，即可得出PC的長；

（2）把△PAC繞點A順時針旋轉60°得到△P'AB，根據旋轉的性質得AP'＝AP＝2，P'B＝PC，∠P'AP＝60°，得出△APP'為等邊三角形，得出PP'＝PA＝2，∠APP'＝60°，當P'點在直線PB上時，P'B最大，得出P'B的最大值，即可得出PC的最大值，此時∠APB＝120°．

（1）①補全圖形，如圖1所示：

②作AH⊥BP于H，如圖2所示：

在Rt△APH中，∵∠APB＝30°，

∴AH＝PA＝1，

∴PH＝＝，

∴BH＝PB﹣PH＝3，

在Rt△AHB中，AB＝＝2，

把△PAC繞點A順時針旋轉60°得△P'AB，連接PP'，如圖3所示：

則∠APP'＝60°，AP'＝AP，PC＝P'B，

∴△APP'是等邊三角形，

∴PP'＝PA＝2，

∵∠APB＝30°，

∴∠BPP'＝90°，

∴P'B＝＝2，

∴PC＝2；

（2）把△PAC繞點A順時針旋轉60°得到△P'AB，

則AP'＝AP＝2，P'B＝PC，∠P'AP＝60°，

∴△APP'為等邊三角形，

∴PP'＝PA＝2，∠APP'＝60°，

當P'點在直線PB上時，如圖4所示：

此時P'B最大，最大值為2+4，

∴PC的最大值為2+4，此時∠APB＝120°；

故答案為：2+4，120°．