【題目】如圖,點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn).將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,連接OD.已知∠AOB=110°.
(1)求證:△COD是等邊三角形;
(2)當(dāng)α=150°時(shí),試判斷△AOD的形狀,并說明理由;
(3)探究:當(dāng)α為多少度時(shí),△AOD是等腰三角形.
【答案】(1)證明見解析;(2)△AOD是直角三角形;(3)當(dāng)α的度數(shù)為125 °或110 °或140 °時(shí),△AOD是等腰三角形;
【解析】
(1)首先由旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)得到CO=CD,∠OCD=60°,然后根據(jù)等邊三角形的判定方法即可得到△COD是等邊三角形;(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)的兩個(gè)三角形全等可得△BOC≌△ADC,利用全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠BOC=α=150°,再利用△COD是等邊三角形得∠ODC=60°,于是可計(jì)算出∠ADO的度數(shù),據(jù)此判斷△AOD的形狀;(3)需要分三種情況討論,即①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO;②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO;③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,再分別建立關(guān)于α的方程,求出α的度數(shù);
解:
(1)證明:∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,
∴CO=CD,∠OCD=60°,
∴△COD是等邊三角形;
(2)當(dāng)∠α=150°時(shí),△AOD是直角三角形.理由如下:
∵將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,
∴△BOC≌△ADC,
∴∠ADC=∠BOC=150°,
又∵△COD是等邊三角形,
∴∠ODC=60°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°,
∴△AOD是直角三角形;
(3)①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α,∠ADO=α-60°,
∴190°-α=α-60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∵∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=180°-(190°-α+α-60°)=50°,
∴α-60°=50°,
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,
∵∠AOD=190°-α,∠OAD==120°-,
∴190°-α=120°-,
解得α=140°.
綜上所述:當(dāng)α的度數(shù)為125 °或110 °或140 °時(shí),△AOD是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,AD的垂線平分線交AB于點(diǎn)F,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AE,DF.
求證:(1)∠EAD=∠EDA;(2)DF//AC;(3)∠EAC=∠B.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC,AB=AC,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F,BD=CD
求證:DE=DF
證明:∵AB=AC
∴∠B=∠C( ),
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠BED=∠DFC=90°
在△BDE和△CDF中
∴△BDE≌△CDF( ).
∴DE=DF( )
(1)請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)里寫出推理的依據(jù).
(2)請(qǐng)你寫出另一種證明此題的方法.
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【題目】我市準(zhǔn)備在相距千米的,兩工廠間修一條筆直的公路,但在地北偏東方向、地北偏西方向的處,有一個(gè)半徑為千米的住宅小區(qū)(如圖),問修筑公路時(shí),這個(gè)小區(qū)是否有居民需要搬遷?(參考數(shù)據(jù):,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,BE⊥AC于點(diǎn)E,點(diǎn)D在AC上,且AD=AB,AK平分∠CAB,交線段BE于點(diǎn)F,交邊CB于點(diǎn)K.
(1)在圖中找出一對(duì)全等三角形,并證明;
(2)求證:FD∥BC .
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【題目】探究:如圖①,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,直線 m 經(jīng)過點(diǎn) A,BD⊥m 于點(diǎn) D,CE⊥m 于點(diǎn) E,求證:△ABD≌△CAE.
應(yīng)用:如圖②,在△ABC 中,AB=AC,D、A、E 三點(diǎn)都在直線 m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC,求證:DE=BD+CE.
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【題目】如圖,已知.
(1)用直尺和圓規(guī)作射線平分;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)求證:角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等. (要求:在第(1)小題作圖的基礎(chǔ)上,畫出證明所需的圖形,寫出已知、求證和證明過程)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖①是一個(gè)長(zhǎng)為2m,寬為2n的長(zhǎng)方形,沿圖中虛線用剪刀均勻分成四塊小長(zhǎng)方形,然后按圖②形狀拼成一個(gè)正方形.
(1)請(qǐng)用兩種不同方法,求②中陰影部分的面積(不用化簡(jiǎn))
方法1: ;方法2: ;
(2)觀察圖②,寫出(m+n)2,(m﹣n)2,mn之間的等量關(guān)系 ;
(3)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:
①若a+b=7,ab=5,求(a﹣b)2的值;
②若2a+b=5,ab=2,求2a﹣b的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)y=2x+b.
(1)它的圖像與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積等于4,求b的值;
(2)它的圖像經(jīng)過一次函數(shù)y=-2x+1、y=x+4圖像的交點(diǎn),求b的值.
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