Question

【題目】如圖，直線l：y=﹣x+1與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在第二象限，點(diǎn)Q在第四象限，∠POQ=135°．

（1）求△AOB的周長；
（2）設(shè)AQ=t＞0，試用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P，Q在直線l上運(yùn)動(dòng)到使得△AOQ與△BPO的周長相等時(shí)，記tan∠AOQ=m，若過點(diǎn)A的二次函數(shù)y=ax2+bx+c同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：
①6a+3b+2c=0；
②當(dāng)m≤x≤m+2時(shí)，函數(shù)y的最大值等于 ，求二次項(xiàng)系數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在函數(shù)y=﹣x+1中，令x=0，得y=1，

∴B（0，1），

令y=0，得x=1，

∴A（1，0），

則OA=OB=1，AB= ，

∴△AOB周長為1+1+ =2+

（2）

解：∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO=45°，

∴∠PBO=∠QAO=135°，

設(shè)∠POB=x，則∠OPB=∠AOQ=135°﹣x﹣90°=45°﹣x，

∴△PBO∽△OAQ，

∴ ，

∴PB= = ，

過點(diǎn)P作PH⊥OB于H點(diǎn)，

則△PHB為等腰直角三角形，

∵PB= ，

∴PH=HB= ，

∴P（﹣ ，1+ ）．

（3）

解：由（2）可知△PBO∽△OAQ，若它們的周長相等，則相似比為1，即全等，

∴PB=AQ，

∴ =t，

∵t＞0，

∴t=1，

同理可得Q（1+ ，﹣ ），

∴m= = ﹣1，

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，

∴a+b+c=0，

又∵6a+3b+2c=0，

∴b=﹣4a，c=3a，

對(duì)稱軸x=2，取值范圍 ﹣1≤x +1，

①若a＞0，則開口向上，

由題意x= ﹣1時(shí)取得最大值 =2 +2，

即（ ﹣1）2a+（ ﹣1）b+c=2 +2，

解得a= ．

②若a＜0，則開口向下，

由題意x=2時(shí)取得最大值2 +2，

即4a+2b+c=2 +2，

解得a=﹣2 ﹣2．

綜上所述所求a的值為 或﹣2 ﹣2

【解析】（1）先求出A、B坐標(biāo)，再求出OB、OA、AB即可解決問題．（2）由△PBO∽△OAQ，得 = ，求出PB，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)可以求得點(diǎn)P坐標(biāo)．（3）先求出m的值，分①a＞0，②a＜0，兩種情形，利用二次函數(shù)性質(zhì)分別求解即可．本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、函數(shù)最值問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)分類討論，考慮問題要全面，屬于中考?jí)狠S題．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．