【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx經(jīng)過兩點(diǎn)A(﹣1,1),B(2,2).過點(diǎn)B作BC∥x軸,交拋物線于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)D.
(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若拋物線上存在點(diǎn)M,使得△BCM的面積為 ,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)連接OA、OB、OC、AC,在坐標(biāo)平面內(nèi),求使得△AOC與△OBN相似(邊OA與邊OB對應(yīng))的點(diǎn)N的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:把A(﹣1,1),B(2,2)代入y=ax2+bx得: ,解得 ,
故拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y= x2﹣ x,
∵BC∥x軸,
設(shè)C(x0,2).
∴ x02﹣ x0=2,解得:x0=﹣ 或x0=2,
∵x0<0,
∴C(﹣ ,2)
(2)
解:設(shè)△BCM邊BC上的高為h,
∵BC= ,
∴S△BCM= h= ,
∴h=2,點(diǎn)M即為拋物線上到BC的距離為2的點(diǎn),
∴M的縱坐標(biāo)為0或4,令y= x2﹣ x=0,
解得:x1=0,x2= ,
∴M1(0,0),M2( ,0),令y= x2﹣ x=4,
解得:x3= ,x4=
,∴M3( ,0),M4( ,4),
綜上所述:M點(diǎn)的坐標(biāo)為:(0,0),( ,0),( ,0),( ,4)
(3)
解:∵A(﹣1,1),B(2,2),C(﹣ ,2),D(0,2),
∴OB=2 ,OA= ,OC= ,
∴∠AOD=∠BOD=45°,tan∠COD= ,
①如圖1,
當(dāng)△AOC∽△BON時, ,∠AOC=∠BON,
∴ON=2OC=5,
過N作NE⊥x軸于E,
∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE,
在Rt△NOE中,tan∠NOE=tan∠COD= ,
∴OE=4,NE=3,
∴N(4,3)同理可得N(3,4);
②如圖2,
當(dāng)△AOC∽△OBN時, ,∠AOC=∠OBN,
∴BN=2OC=5,
過B作BG⊥x軸于G,過N作x軸的平行線交BG的延長線于F,
∴NF⊥BF,
∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF,
∴tan∠NBF=tan∠COD= ,
∴BF=4,NF=3,
∴N(﹣1,﹣2),同理N(﹣2,﹣1),
綜上所述:使得△AOC與△OBN相似(邊OA與邊OB對應(yīng))的點(diǎn)N的坐標(biāo)是(4,3),(3,4),(﹣1,﹣2),(﹣2,﹣1).
【解析】(1)把A(﹣1,1),B(2,2)代入y=ax2+bx求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y= x2﹣ x,由于BC∥x軸,設(shè)C(x0 , 2).于是得到方程 x02﹣ x0=2,即可得到結(jié)論;(2)設(shè)△BCM邊BC上的高為h,根據(jù)已知條件得到h=2,點(diǎn)M即為拋物線上到BC的距離為2的點(diǎn),于是得到M的縱坐標(biāo)為0或4,令y= x2﹣ x=0,或令y= x2﹣ x=4,解方程即可得到結(jié)論;(3)解直角三角形得到OB=2 ,OA= ,OC= ,∠AOD=∠BOD=45°,tan∠COD= ①如圖1,當(dāng)△AOC∽△BON時,求得ON=2OC=5,過N作NE⊥x軸于E,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到OE=4,NE=3,于是得到結(jié)果;②如圖2,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BN=2OC=5,過B作BG⊥x軸于G,過N作x軸的平行線交BG的延長線于F解直角三角形得到BF=4,NF=3于是得到結(jié)論.本題主要考查的是二次函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用,難度較大,解答本題需要同學(xué)們熟練掌握二次函數(shù)和相似三角形的相關(guān)性質(zhì).
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減;對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A(2,﹣2).
(1)分別求這兩個函數(shù)的表達(dá)式;
(2)將直線OA向上平移3個單位長度后與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)的交點(diǎn)為C,連接AB,AC,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線m:y=ax2﹣6ax+c(a>0)的頂點(diǎn)A在x軸上,并過點(diǎn)B(0,1),直線n:y=﹣ x+ 與x軸交于點(diǎn)D,與拋物線m的對稱軸l交于點(diǎn)F,過B點(diǎn)的直線BE與直線n相交于點(diǎn)E(﹣7,7).
(1)求拋物線m的解析式;
(2)P是l上的一個動點(diǎn),若以B,E,P為頂點(diǎn)的三角形的周長最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)拋物線m上是否存在一動點(diǎn)Q,使以線段FQ為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計(jì)算:
(1)(﹣ )﹣2﹣ +6cos30°;
(2)先化簡,再求值:(a+b)(a﹣b)﹣(a﹣2b)2 , 其中a=2,b=﹣1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩校分別有一男一女共4名教師報名到農(nóng)村中學(xué)支教.
(1)若從甲、乙兩校報名的教師中分別隨機(jī)選1名,則所選的2名教師性別相同的概率是 .
(2)若從報名的4名教師中隨機(jī)選2名,用列表或畫樹狀圖的方法求出這2名教師來自同一所學(xué)校的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l:y=﹣x+1與x軸,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q是直線l上的兩個動點(diǎn),且點(diǎn)P在第二象限,點(diǎn)Q在第四象限,∠POQ=135°.
(1)求△AOB的周長;
(2)設(shè)AQ=t>0,試用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)動點(diǎn)P,Q在直線l上運(yùn)動到使得△AOQ與△BPO的周長相等時,記tan∠AOQ=m,若過點(diǎn)A的二次函數(shù)y=ax2+bx+c同時滿足以下兩個條件:
①6a+3b+2c=0;
②當(dāng)m≤x≤m+2時,函數(shù)y的最大值等于 ,求二次項(xiàng)系數(shù)a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三個布袋都不透明,甲袋中裝有1個紅球和1個白球;乙袋中裝有一個紅球和2個白球;丙袋中裝有2個白球.這些球除顏色外都相同.從這3個袋中各隨機(jī)地取出1個球. ①取出的3個球恰好是2個紅球和1個白球的概率是多少?
②取出的3個球全是白球的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:經(jīng)過三角形的一個頂點(diǎn)的線段把三角形分成兩個小三角形,如果其中一個三角形是等腰三角形,另外一個三角形和原三角形的三個內(nèi)角分別相等,那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”.例如如圖1:等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線”.
(1)判斷(對的打“√”,錯的打“×”)
①等邊三角形不存在“和諧分割線”
②如果三角形中有一個角是另一個角的兩倍,則這個三角形必存在“和諧分割線”
(2)如圖2,Rt△ABC,∠C=90°,∠B=30°,AC=2,請畫出“和諧分割線”,并計(jì)算“和諧分割線”的長度;
(3)如圖3,線段CD是△ABC的“和諧分割線”,∠A=42°,求∠B的度數(shù).
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