【題目】某同學在研究二次函數(shù)及其圖像性質(zhì)的問題時,發(fā)現(xiàn)了兩個重要結(jié)論:
①拋物線 y = ax 2 2x + 3(a ≠0) ,不論 a 為何值時,它的頂點都在某條直線上;
②拋物線 y = ax 2 2x + 3(a ≠0),其頂點的橫坐標減少,縱坐標增加得到A點,若把頂點的橫坐標增加,縱坐標增加,得到B點,則A,B兩點一定在拋物線y = ax 2 2x + 3上.
(1)請你幫忙求出拋物線 y = ax 2 2x + 3的頂點所在直線的解析式,并證明結(jié)論②是正確的;
(2)問題(1)中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點,你能找出它來嗎,并說明理由;
(3)你能把結(jié)論①或②(選擇其中之一)推廣到一般情況嗎,請用數(shù)學語言表述你的成 果,并給予嚴格的證明.
【答案】(1),證明見解析;(2)(0,3),理由見解析;(3)①的推廣:若b、c是常數(shù),對任意的實數(shù),拋物線的頂點在直線上;②的推廣:拋物線,將其頂點的橫坐標增加或減少,縱坐標增加,所得到的兩個點一定仍在拋物線上;證明見解析.
【解析】
(1)首先將拋物線y=ax2+2x+3轉(zhuǎn)化成頂點式,寫出用a表示的頂點坐標,消去a寫出y關(guān)于x的表達式;
(2)觀察(1)中的頂點坐標,因為,即橫坐標,縱坐標,即可求得結(jié)果;
(3)首先寫出拋物線的一般形式,再轉(zhuǎn)化成頂點式,將頂點的橫坐標增加
代入一般式,驗證縱坐標也增加.
解:(1)方法一:
當時,的頂點坐標為(1,2),
當時,的頂點坐標為(1,4),
設(shè)拋物線的頂點在直線上,
將(1,2),(1,4)代入,得:
,解得:,
所以,
即拋物線的頂點在直線;
方法二:
易知的頂點是,
即,,
消去a得:,
即拋物線的頂點在直線;
證明:拋物線的頂點是,
由題意得:A(0,3),B(,3),
當x=0時,y=3,則點A在拋物線上,
當x=時,,則點B拋物線上,
(2)直線上有一點(0,3)不是該拋物線的頂點,
拋物線的頂點是,
當時,橫坐標,即(0,3)不是拋物線的頂點;
(3)①的推廣
若b、c是常數(shù),對任意的實數(shù),拋物線的頂點在直線上.
當時,則的頂點為,
當時,則的頂點為,
將它們代入得:
,
解得:
則直線為,
事實上,時,
,
即拋物線頂點在直線上;
②的推廣
猜想:拋物線y = ax 2 2x + 3(a ≠0) ,將其頂點的橫坐標增加或減少,縱坐標增加,所得到的兩個點一定仍在拋物線上.
證明:拋物線的頂點坐標為,
將其橫坐標增加或減少,縱坐標增加,得到
,
將代入得
=
=
∴點A在拋物線上,同理可證點B也在拋物線上.
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線與軸的交點為A,B(點A 在點B的左側(cè)).
(1)求點A,B的坐標;
(2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫整點.
①直接寫出線段AB上整點的個數(shù);
②將拋物線沿翻折,得到新拋物線,直接寫出新拋物線在軸上方的部分與線段所圍成的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)整點的個數(shù).
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,P為DC延長線上一點,AP分別交BD,BC于點M,N.
(1)圖中相似三角形共有_____對;
(2)證明:AM2=MNMP;
(3)若AD=6,DC:CP=2:1,求BN的長.
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【題目】已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣2的頂點為A,且經(jīng)過點(3,﹣3).
(1)求拋物線的解析式及頂點A的坐標;
(2)將原拋物線沿射線OA方向進行平移得到新的拋物線,新拋物線與射線OA交于C,D兩點,如圖,請問:在拋物線平移的過程中,線段CD的長度是否為定值?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由.
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【題目】(中考·安徽)如圖,已知反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=k2x+b的圖象交于A(1,8),B(-4,m).
(1)求k1,k2,b的值;
(2)求△AOB的面積;
(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函數(shù)y=的圖象上的兩點,且x1<x2,y1<y2,指出點M,N位于哪個象限,并簡要說明理由.
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【題目】本學期開學初,學校體育組對九年級某班50名學生進行了跳繩項目的測試,根據(jù)測試成績制作了下面兩個統(tǒng)計圖.
根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)本次測試的學生中,得4分的學生有多少人?
(2)本次測試的平均分是多少分?
(3)通過一段時間的訓練,體育組對該班學生的跳繩項目進行了第二次測試,測得成績的最低分為3分.且得4分和5分的人數(shù)共有45人,平均分比第一次提高了0.8分,問第二次測試中得4分、5分的學生各有多少人?
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【題目】如圖,已知點C是∠AOB的平分線上一點,點P、P′分別在邊OA、OB上.如果要得到 OP=OP′,需要添加以下條件中的某一個即可,請你寫出所有可能的結(jié)果的序號為( )
①∠OCP=∠OCP′;②∠OPC=∠OP′C;③PC=P′C;④PP′⊥OC.
A.①②B.④③C.①④③D.①②④
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