【題目】已知拋物線l:y=ax2+bx+c(a,b,c均不為0)的頂點為M,與y軸的交點為N,我們稱以N為頂點,對稱軸是y軸且過點M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線,直線MN為拋物線l的衍生直線.
(1)如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是 ,衍生直線的解析式是 ;
(2)若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1,求這條拋物線的解析式;
(3)如圖,設(shè)(1)中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點為M,與y軸交點為N,將它的衍生直線MN先繞點N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行,再沿y軸向上平移1個單位得直線n,P是直線n上的動點,是否存在點P,使△POM為直角三角形?若存在,求出所有點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3;(2)y=2x2﹣4x+1;
(3)存在,P為(,﹣2)或(,﹣2)或(9,﹣2)或(﹣8,﹣2).
【解析】分析:(1)衍生拋物線頂點為原拋物線與y軸的交點,則可根據(jù)頂點設(shè)頂點式方程,由衍生拋物線過原拋物線的頂點則解析式易得,MN解析式易得.
(2)已知衍生拋物線和衍生直線求原拋物線思路正好與(1)相反,根據(jù)衍生拋物線與衍生直線的兩交點分別為衍生拋物線與原拋物線的交點,則可推得原拋物線頂點式,再代入經(jīng)過點,即得解析式.(3)由N(0,﹣3),衍生直線MN繞點N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行得到y=﹣3,再向上平移1個單位即得直線y=﹣2,所以P點可設(shè)(x,﹣2).在坐標(biāo)系中使得△POM為直角三角形一般考慮勾股定理,對于坐標(biāo)系中的兩點,分別過點作平行于x軸、y軸的直線,則可構(gòu)成以兩點間距離為斜邊的直角三角形,且直角邊長都為兩點橫縱坐標(biāo)差的絕對值.進(jìn)而我們可以先算出三點所成三條線的平方,然后組合構(gòu)成滿足勾股定理的三種情況,易得P點坐標(biāo).
本題解析:
(1)∵拋物線y=x2﹣2x﹣3過(0,﹣3),
∴設(shè)其衍生拋物線為y=ax2﹣3,
∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=(x﹣1)2﹣4,
∴衍生拋物線為y=ax2﹣3過拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點(1,﹣4),
∴﹣4=a1﹣3,
解得 a=﹣1,
∴衍生拋物線為y=﹣x2﹣3.
設(shè)衍生直線為y=kx+b,
∵y=kx+b過(0,﹣3),(1,﹣4),
∴,
∴,
∴衍生直線為y=﹣x﹣3.
(2)∵衍生拋物線和衍生直線兩交點分別為原拋物線與衍生拋物線的頂點,
∴將y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1聯(lián)立,得,
解得 或,
∵衍生拋物線y=﹣2x2+1的頂點為(0,1),
∴原拋物線的頂點為(1,﹣1).
設(shè)原拋物線為y=a(x﹣1)2﹣1,
∵y=a(x﹣1)2﹣1過(0,1),
∴1=a(0﹣1)2﹣1,
解得 a=2,
∴原拋物線為y=2x2﹣4x+1.
(3)∵N(0,﹣3),
∴MN繞點N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行后,解析式為y=﹣3,
∴再沿y軸向上平移1個單位得的直線n解析式為y=﹣2.
設(shè)點P坐標(biāo)為(x,﹣2),
∵O(0,0),M(1,﹣4),
∴OM2=(xM﹣xO)2+(yO﹣yM)2=1+16=17,
OP2=(|xP﹣xO|)2+(yO﹣yP)2=x2+4,
MP2=(|xP﹣xM|)2+(yP﹣yM)2=(x﹣1)2+4=x2﹣2x+5.
①當(dāng)OM2=OP2+MP2時,有17=x2+4+x2﹣2x+5,
解得x=或x=,即P(,﹣2)或P(,﹣2).
②當(dāng)OP2=OM2+MP2時,有x2+4=17+x2﹣2x+5,
解得 x=9,即P(9,﹣2).
③當(dāng)MP2=OP2+OM2時,有x2﹣2x+5=x2+4+17,
解得 x=﹣8,即P(﹣8,﹣2).
綜上所述,當(dāng)P為(,﹣2)或(,﹣2)或(9,﹣2)或(﹣8,﹣2)時,△POM為直角三角形.
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【題目】滴滴快車是一種便捷的出行工具,計價規(guī)則如下表:
計費項目 | 里程費 | 時長費 | 遠(yuǎn)途費 |
單價 | 1.8元/公里 | 0.45元/分鐘 | 0.4元/公里 |
注:車費由里程費、時長費、遠(yuǎn)途費三部分構(gòu)成,其中里程費按行車的實際里程計算;時長費按行車的實際時間計算;遠(yuǎn)途費的收取方式為:行車?yán)锍?/span>10公里以內(nèi)(含10公里)不收遠(yuǎn)途費,超過10公里的,超出部分每公里收0.4元. |
(1)若小東乘坐滴滴快車,行車?yán)锍虨?/span>20公里,行車時間為30分鐘,則需付車費________元.
(2)若小明乘坐滴滴快車,行車?yán)锍虨?/span>a公里,行車時間為b分鐘,則小明應(yīng)付車費多少元(用含a、b的代數(shù)式表示,并化簡.)
(3)小王與小張各自乘坐滴滴快車,行車?yán)锍谭謩e為9.5公里與14.5公里,如果下車時兩人所付車費相同,那么這兩輛滴滴快車的行車時間相差多少分鐘?
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【題目】如圖,不透明圓錐體DEC放在直線BP所在的水平面上,且BP過圓錐底面圓的圓心,圓錐的高為2 m,底面半徑為2 m,某光源位于點A處,照射圓錐體在水平面上留下的影長BE=4 m.
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)若∠ACP=2∠ABC,求光源A距水平面的高度.
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【題目】兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖①所示放置,直角頂點重合在點O處,AB=25.保持紙片AOB不動,將紙片COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)角度,如圖②所示.
(1)在圖②中,求證:AC=BD,且AC⊥BD;
(2)當(dāng)BD與CD在同一直線上(如圖③)時,若AC=7,求CD的長.
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【題目】如圖,將一個飲料包裝盒剪開,鋪平,紙樣如圖所示,包裝盒的高為;設(shè)包裝盒底面的長為.
(1)用表示包裝盒底面的寬;
(2)用表示包裝盒的表面積,并化簡;
(3)若包裝盒底面的長為,求包裝盒的表面積.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點P是AB下方的半圓上不與點A,B重合的一個動點,點C為AP中點,延長CO交⊙O于點D,連接AD,過點D作⊙O的切線交PB的廷長線于點E,連CE交AB于點F,連接DF.
(1)求證:△DAC≌△ECP;
(2)填空:
①四邊形ACED是何種特殊的四邊形?
②在點P運(yùn)動過程中,線段DF、AP的數(shù)量關(guān)系是 .
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【題目】已知矩形ABCD中,E是AD邊上的一個動點,點F,G,H分別是BC,BE,CE的中點.
(1)求證:△BGF≌△FHC;
(2)設(shè)AD=a,當(dāng)四邊形EGFH是正方形時,求矩形ABCD的面積.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,把△ABC沿對角線AC折疊,得到△AB'C,B'C與AD相交于點E,則AE的長________.
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