Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F，BD交AE于M．

（1）求證：△AEC≌△ADB；

（2）若BC=2，∠BAC=30°，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC≌△ADE，，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，最后可根據(jù)“SAS”證得結(jié)論；

（2）過點(diǎn)B作BM⊥EC于點(diǎn)M，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC∥DF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DBA=∠BAC=45°，從而得到△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理可求BD，最后根據(jù)線段的計(jì)算求解得到BF的長(zhǎng).

試題解析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△ADE，且AB=AC，

∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB，

∴△AEC≌△ADB（SAS）；

（2）過點(diǎn)B作BM⊥EC于點(diǎn)M，∵∠BAC=30°AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB=75°.

∵當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，AC∥DF,

∴∠FBA=∠BAC=30°,

∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD=30°,

∴∠ACE=∠ADB=30°,∴∠FCB=45°.

∵BM⊥EC，∴∠MBC=45°,

∴BM=MC=BCsin45°=×2=,

∵∠ABC＝75°,∠ABD＝30°,∠FCB=45°

∴∠BFC＝180°-75°-45°-30°=30°,

∴BF=2BM=2.