Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線，與x軸交于A，B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為l．

（1）求點A，B，C的坐標；

（2）若點D是第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點D作軸于點E，交直線BC于點F，當時，求四邊形DOBF的面積；

（3）在（2）的條件下，若點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－2)；（2）；（3）存在以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，點M的坐標分別為(0，－2)或(2，－2)或(8，10)．

【解析】

（1）分別把y=0，x=0代入函數(shù)解析式，解方程即可求解；

（2）求出直線BC解析式，設點D的坐標為，則點F的坐標為，點E的坐標為(m，0)．根據(jù)求出D、E、F坐標，根據(jù)即可求解；

（3）設點N的坐標為(1，n)，分NB為對角線、ND為對角線、BD為對角線三類討論，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)即可求出點M坐標．

（1）由，得．

解方程，得，．

∵點A在點B的左側(cè)，∴點A的坐標為(－2，0)，點B的坐標為(4，0)．

由，得，∴點C的坐標為(0，－2)

（2）設直線BC的函數(shù)表達式為，經(jīng)過點B(4，0)，C(0，-2)，∴解得，∴直線BC的函數(shù)表達式為．

設點D的坐標為，則點F的坐標為，點E的坐標為(m，0)．

∵點D在第一象限，∴．

又∵，∴．

解得，(舍去)，∴點E的坐標為(5，0)，點D的坐標為，點F的坐標為，∴．

（3）設點N的坐標為(1，n)，

①當NB為對角線時，如答圖1所示，點M的坐標為．

代入，得，解得．

此時點M的坐標為(0，－2)；

②當ND為對角線時，如答圖2所示，點M的坐標為，

代入，得．

解得．

此時點M的坐標為(2，－2)；

③當BD為對角線時，如答圖3所示，點M的坐標為，

代入，得．

解得．

此時點M的坐標為(8，10)．

綜上所述：存在以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，點M的坐標分別為(0，－2)或(2，－2)或(8，10)．