Question

【題目】探究與發(fā)現(xiàn)：

探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？

已知：如圖1，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角，試探究∠A與∠FDC+∠ECD的數(shù)量關(guān)系．

探究二：三角形的一個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？

已知：如圖2，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系．

探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？

已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試利用上述結(jié)論探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】探究一：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；探究二：∠P＝90°+∠A；探究三：∠P＝（∠A+∠B）．

【解析】

探究一：根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；

探究二：根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；

探究三：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可.

解：探究一：∵∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，

∴∠FDC+∠ECD＝∠A+∠ACD+∠A+∠ADC＝180°+∠A；

探究二：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，

∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，

∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD

＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD

＝180°﹣（∠ADC+∠ACD）

＝180°﹣（180°﹣∠A）

＝90°+∠A；

探究三：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，

∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，

∴∠P＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD

＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD

＝180°﹣（∠ADC+∠BCD）

＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）

＝（∠A+∠B）.

故答案為：探究一：∠FDC+∠ECD＝180°+∠A；探究二：∠P＝90°+∠A；探究三：∠P＝（∠A+∠B）．