Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸、y軸上，D是對角線的交點，若反比例函數(shù)y＝的圖象經過點D，且與矩形OABC的兩邊AB，BC分別交于點E，F．

（1）若D的坐標為（4，2）

①則OA的長是　 　，AB的長是　 　；

②請判斷EF是否與AC平行，井說明理由；

③在x軸上是否存在一點P．使PD+PE的值最小，若存在，請求出點P的坐標及此時PD+PE的長；若不存在．請說明理由．

（2）若點D的坐標為（m，n），且m＞0，n＞0，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①8；4；②EF∥AC，理由見解析；③當點P的坐標為（，0）時，PD+PE的值最小，最小值為5．

（2）＝．

【解析】

（1）①根據(jù)矩形的性質和點O、D的坐標即可求出點B的坐標，從而求出OA和AB的長；

②將點D坐標代入反比例函數(shù)解析式中即可求出反比例函數(shù)的解析式，從而求出E、F兩點坐標，然后根據(jù)有兩組對應邊成比例且對應夾角相等的兩個三角形相似，證出：△ABC∽△EBF，從而得出∠BCA＝∠BFE，根據(jù)平行線的判定即可證出EF∥AC；

③作點E關于x軸對稱的點E′，連接DE′交x軸于點P，此時PD+PE的值最小，根據(jù)平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式即可求出此時的DE′，然后利用待定系數(shù)法求出直線DE′的解析式，從而求出此時P點坐標；

（2）設點D的坐標為（m，n），與（1）①同理可得：點B的坐標為（2m，2n），然后與（1）②中同理可證：△ABC∽△EBF，從而求出.

解：（1）①∵四邊形OABC是矩形，

∴D為OB的中點

∵點O的坐標為（0，0），點D的坐標為（4，2），

∴點B的坐標為（8，4），

∴OA＝8，AB＝4．

故答案為：8；4．

②EF∥AC，理由如下：

∵反比例函數(shù)y＝的圖象經過點D（4，2），

∴k＝4×2＝8．

∵點B的坐標為（8，4），BC∥x軸，AB∥y軸，

∴點F的坐標為（2，4），點E的坐標為（8，1），

∴BF＝6，BE＝3，

∴＝，＝，

∴＝．

∵∠ABC＝∠EBF，

∴△ABC∽△EBF，

∴∠BCA＝∠BFE，

∴EF∥AC．

③作點E關于x軸對稱的點E′，連接DE′交x軸于點P，根據(jù)兩點之間，線段最短，此時PD+PE的值最小，并且PD+PE=PD+P E′= DE′，如圖所示．

∵點E的坐標為（8，1），

∴點E′的坐標為（8，﹣1），

∴根據(jù)平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式得：DE′＝＝5．

設直線DE′的解析式為y＝ax+b（a≠0），

將D（4，2），E′（8，﹣1）代入y＝ax+b，得：，

解得：，

∴直線DE′的解析式為y＝﹣x+5．

當y＝0時，﹣x+5＝0，

解得：x＝，

∴當點P的坐標為（，0）時，PD+PE的值最小，最小值為5．

（2）∵點D的坐標為（m，n），

∴點B的坐標為（2m，2n）．

∵反比例函數(shù)y＝的圖象經過點D（m，n），

∴k＝mn，

∴點F的坐標為（m，2n），點E的坐標為（2m，n），

∴BF＝m，BE＝n，

∴＝，＝，

∴＝．

又∵∠ABC＝∠EBF，

∴△ABC∽△EBF，

∴＝＝．