Question

【題目】我們規(guī)定：等腰三角形的底角與頂角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”．如圖，△ABC是以A為頂點(diǎn)的“特征值”為的等腰三角形，在△ABC外有一點(diǎn)D，若∠ADB＝∠ABC，AD＝4，BD＝3，則∠ABC＝_____度，CD的長(zhǎng)是_____．

Answer 1

【答案】45

【解析】

設(shè)等腰三角形的底角為x，根據(jù)“特征值”的定義即可得：頂角為2x，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出x＝45°，即∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，然后過(guò)C點(diǎn)作CH⊥DA垂足為H，交DB延長(zhǎng)線于E，先證出△ADB∽△BEC，從而得出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件即可求出BE＝4，CE＝3，從而求出EH的長(zhǎng)，即可求出CH，然后根據(jù)勾股定理即可求出CD的長(zhǎng).

解：設(shè)等腰三角形的底角為x，

∵△ABC是以A為頂點(diǎn)的“特征值”為的等腰三角形，

根據(jù)定義可知頂角為2x．

∴x+x+2x＝180°，

∴x＝45°，

即∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，

過(guò)C點(diǎn)作CH⊥DA垂足為H，交DB延長(zhǎng)線于E，如圖：

∵∠ADB+∠DAB＝∠ABC+∠CBE，∠ADB＝∠ABC＝45°，

∴∠ADB＝∠E＝45°，∠DAB＝∠EBC，

∴△ADB∽△BEC，

∴，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴，

∵AD＝4，BD＝3，

∴BE＝4，CE＝3，

∴DE＝3+4，

∵△DHE是等腰直角三角形，

∴DH＝EH＝＝，

∴CH＝EH－CE= ，

在Rt△DCH中，CD＝＝．

故答案為：45，．