【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PAOC的周長最。咳舸嬖,求出四邊形PAOC周長的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)如圖②,點(diǎn)Q是線段OB上一動(dòng)點(diǎn),連接BC,在線段BC上是否存在這樣的點(diǎn)M,使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形?若存在,求點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)解:根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣4),

代入C(0,3)得3=4a,

解得a= ,

y= (x﹣1)(x﹣4)= x2 x+3,

所以,拋物線的解析式為y= x2 x+3


(2)解:∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,如圖1,連接BC,

∴BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P,此時(shí)PA+PC=BC,

∴四邊形PAOC的周長最小值為:OC+OA+BC,

∵A(1,0)、B(4,0)、C(0,3),

∴OA=1,OC=3,BC= =5,

∴OC+OA+BC=1+3+5=9;

∴在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P,使得四邊形PAOC的周長最小,四邊形PAOC周長的最小值為9.


(3)解:∵B(4,0)、C(0,3),

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+3,

①當(dāng)∠BQM=90°時(shí),如圖2,設(shè)M(a,b),

∵∠CMQ>90°,

∴只能CM=MQ=b,

∵M(jìn)Q∥y軸,

∴△MQB∽△COB,

= ,即 = ,解得b= ,代入y=﹣ x+3得, =﹣ a+3,解得a= ,

∴M( , );

②當(dāng)∠QMB=90°時(shí),如圖3,

∵∠CMQ=90°,

∴只能CM=MQ,

設(shè)CM=MQ=m,

∴BM=5﹣m,

∵∠BMQ=∠COB=90°,∠MBQ=∠OBC,

∴△BMQ∽△BOC,

= ,解得m=

作MN∥OB,

= = ,即 = = ,

∴MN= ,CN= ,

∴ON=OC﹣CN=3﹣ =

∴M( , ),

綜上,在線段BC上存在這樣的點(diǎn)M,使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形,點(diǎn)M的坐標(biāo)為( , )或( , ).


【解析】(1)由拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三點(diǎn),用待定系數(shù)法求出解析式;(2)由A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,得到BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P,由A(1,0)、B(4,0)、C(0,3),得到OA=1,OC=3,BC =5,OC+OA+BC=1+3+5=9;所以在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P,使得四邊形PAOC的周長最小,四邊形PAOC周長的最小值為9;(3)由B(4,0)、C(0,3),所以直線BC的解析式為y=﹣ x+3,①當(dāng)∠BQM=90°時(shí),設(shè)M(a,b),由∠CMQ>90°,得到只能CM=MQ=b,因?yàn)镸Q∥y軸,所以△MQB∽△COB,得到 比例,求出M的坐標(biāo);②當(dāng)∠QMB=90°時(shí),由∠CMQ=90°,得到只能CM=MQ,得到△BMQ∽△BOC,得到比例,解得m= ,由MN∥OB,得到比例,求出M( , ),在線段BC上存在這樣的點(diǎn)M,使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形,點(diǎn)M的坐標(biāo)為( , )或( , ).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩人在筆直的湖邊公路上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速步行2 400 m,先到終點(diǎn)的人原地休息.已知甲先出發(fā)4 min,在整個(gè)步行過程中,甲、乙兩人的距離y(m)與甲出發(fā)的時(shí)間t(min)之間的關(guān)系如圖所示,以下結(jié)論:①甲步行的速度為60 m/min;②乙走完全程用了32 min;③乙用16 min追上甲;④乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí),甲離終點(diǎn)還有300 m,其中正確的結(jié)論有______(填序號(hào))

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),其部分圖象如圖所示,

下列結(jié)論:
①4ac<b2;
②方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④當(dāng)y>0時(shí),x的取值范圍是﹣1≤x<3
⑤當(dāng)x<0時(shí),y隨x增大而增大
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
A.4個(gè)
B.3個(gè)
C.2個(gè)
D.1個(gè)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某商場(chǎng)銷售每個(gè)進(jìn)價(jià)為150元和120元的AB兩種型號(hào)的足球,如表是近兩周的銷售情況:

銷售時(shí)段

銷售數(shù)量

銷售收入

A種型號(hào)

B種型號(hào)

第一周

3個(gè)

4個(gè)

1200

第二周

5個(gè)

3個(gè)

1450

進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變,利潤銷售收入進(jìn)貨成本

(1)A、B兩種型號(hào)的足球的銷售單價(jià);

(2)若商場(chǎng)準(zhǔn)備用不多于8400元的金額再購進(jìn)這兩種型號(hào)的足球共60個(gè),求A種型號(hào)的足球最多能采購多少個(gè)?

(3)的條件下,商場(chǎng)銷售完這60個(gè)足球能否實(shí)現(xiàn)利潤超過2550元,若能,請(qǐng)給出相應(yīng)的采購方案;若不能請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,DEABCAB的垂直平分線,分別交AB、BCD、E。AE平分BAC. 設(shè)B = x(單位:度),C = y(單位:度).

(1)求y隨x變化的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;

(2)請(qǐng)討論當(dāng)ABC為等腰三角形時(shí),B為多少度?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā),沿著箭頭所示方向,每次移動(dòng)一個(gè)單位,依次得到點(diǎn)P1(01),P2(11),P3(1,0)P4(1,1),P5(21),P6(2,0)...,則點(diǎn)P2017的坐標(biāo)是(  )

A.(672,0)B.(672,1)C.(673,1)D.(6730)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】探索研究:已知:△ABC和△CDE都是等邊三角形.

(1)如圖1,若點(diǎn)A、C、E在一條直線上時(shí),我們可以得到結(jié)論:線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系為:   ,線段AD與BE所成的銳角度數(shù)為   °;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)A、C、E不在一條直線上時(shí),請(qǐng)證明(1)中的結(jié)論仍然成立;

靈活運(yùn)用:

如圖3,某廣場(chǎng)是一個(gè)四邊形區(qū)域ABCD,現(xiàn)測(cè)得:AB=60m,BC=80m,且∠ABC=30°,∠DAC=∠DCA=60°,試求水池兩旁B、D兩點(diǎn)之間的距離.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如圖(1),根據(jù)勾股定理,則a2+b2=c2,若△ABC不是直角三角形,如圖(2)和圖(3),請(qǐng)你類比勾股定理,試猜想a2+b2與c2的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案