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【題目】如圖,直線y=x﹣1與反比例函數y=的圖象交于A、B兩點,與x軸交于點C,已知點A的坐標為(﹣1,m).

(1)求反比例函數的解析式;

(2)若點P(n,﹣1)是反比例函數圖象上一點,過點P作PEx軸于點E,延長EP交直線AB于點F,求CEF的面積.

(3)在x軸上是否存在點Q,使得QBC是等腰三角形?若存在,請直接寫出Q點坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)反比例函數的表達式為:y=(2)(3)在x軸上存在點Q,使得QBC是等腰三角形,Q點坐標為(1+,0)、(1﹣,0)、(2,0)或(3,0).

【解析】

試題分析:(1)將點A的坐標代入直線AB的解析式中即可求出m的值,根據點A的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征即可求出k值,從而得出反比例函數解析式;

(2)由直線AB的解析式可求出點C的坐標,將點P的坐標代入反比例函數解析式中可求出n值,從而可得出點E、F的坐標,由此可得出線段EF、CE的長度,再根據三角形的面積公式即可得出結論;

(3)假設存在,設點Q的坐標為(a,0).聯立直線AB與反比例函數解析式可求出點B的坐標,由此即可得出線段BC、BQ、CQ的長,根據等腰三角形的性質分BC=BQ、BC=CQ以及BQ=CQ三種情況考慮,由此可得出關于a的方程,解方程即可求出點Q的坐標,此題得解.

解:(1)把A(﹣1,m)代入y=x﹣1,

m=﹣2,

A(﹣1,﹣2).

點A在反比例函數圖象上,

k=﹣1×(﹣2)=2,

反比例函數的表達式為:y=

(2)令y=x﹣1中y=0,則0=x﹣1,解得:x=1,

C(1,0).

把P(n,﹣1)代入y=中,得:﹣1=,

解得:n=﹣2,

P(﹣2,﹣1).

PEx軸,

E(﹣2,0).

令y=x﹣1中x=﹣2,則y=﹣2﹣1=﹣3,

F(﹣2,﹣3).

CE=3,EF=3,

S△CEF=CEEF=

(3)假設存在,設點Q的坐標為(a,0).

聯立直線AB和反比例函數解析式得:,

解得:,

B(2,1).

BC==,CQ=|a﹣1|,BQ=

QBC是等腰三角形分三種情況:

①當BC=CQ時,有=|a﹣1|,

解得:a1=1+,a2=1﹣

此時點Q的坐標為(1+,0)或(1﹣,0);

②當CQ=BQ時,有|a﹣1|=,

解得:a3=2,

此時點Q的坐標為(2,0);

③當BC=BQ時,有=

解得:a4=3,a5=1,

此時點Q的坐標為(3,0)或(1,0)(舍去).

綜上可知:在x軸上存在點Q,使得QBC是等腰三角形,Q點坐標為(1+,0)、(1﹣,0)、(2,0)或(3,0).

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