【題目】如圖,△ABC內接于⊙O,且∠B=60°,過C作⊙O的切線l,與直徑AD的延長線交于點E,AF⊥l,垂足為F.

(1)求證:AC平分∠FAD;
(2)已知AF=3 ,求陰影部分面積.

【答案】
(1)證明:

連接OC,

∵EF切⊙O于點C,

∴OC⊥EF,

∵AF⊥EF,

∴OC∥AF,

∴∠FAC=∠ACO,

∵OA=OC,

∴∠ACO=∠CAO,

∴∠FAC=∠CAO,

∴AC平分∠FAD


(2)解:連接CD,

∵AD是⊙O的直徑,

∴∠ACD=90°,

∵∠ADC=∠B=60°,

∴∠CAD=30°=∠FAC,

∴∠E=30°,

∵AF=3 ,

∴FC=AF×tan30°=3,

∴AC=2FC=6,

∴CA=CE=6,

∵∠OCE=90°,

∴OC=CE×tan30°=2 ,

∴S陰影=SOCE﹣S扇形COD= =6 ﹣2π


【解析】已知圓的切線,輔助線的添加方法是連半徑,(1)連接OC得OC⊥EF,先證明OC∥AF,再證明得∠FAC=∠CAO,即可得出AC平分∠FAD
(2)觀察圖形,可知S陰影=SOCE﹣S扇形COD。先在Rt△ACF中,求出AC的長,再證明AC=CE,易得∠E=30°,就可以求出△OCE、扇形OCD的面積,然后去很粗陰影部分的面積。
【考點精析】關于本題考查的切線的性質定理和扇形面積計算公式,需要了解切線的性質:1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑;在圓上,由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形;扇形面積S=π(R2-r2)才能得出正確答案.

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2)如圖2,若點G在點F的右側,且∠FEG30°,求∠MEN的度數(shù);

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1)計算下列各對數(shù)的值: ;

2)觀察(1)中三數(shù)416、64之間滿足怎樣的關系式,之間又滿足怎樣的關系式;

3)由(2)的結果,你能歸納出一個一般性的結論嗎?

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C.
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