Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，拋物線（）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，且對稱軸為直線x=-2 .

（1）求該拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）若點P(0,t)是y軸上的一個動點，請進行如下探究：

探究一：如圖1，設(shè)△PAD的面積為S，令W＝t·S，當0＜t＜4時，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此時t的值；如果沒有，說明理由；

探究二：如圖2，是否存在以P、A、D為頂點的三角形與Rt△AOC相似？如果存在，求點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）， D（-2，4）．

（2）①當t=3時，W有最大值，W最大值=18．②存在．只存在一點P（0，2）使Rt△ADP與Rt△AOC相似．

【解析】

（1）由拋物線的對稱軸求出a，就得到拋物線的表達式了；
（2）①下面探究問題一，由拋物線表達式找出A，B，C三點的坐標，作DM⊥y軸于M，再由面積關(guān)系：SPAD=S梯形OADM-SAOP-SDMP得到t的表達式，從而W用t表示出來，轉(zhuǎn)化為求最值問題．
②難度較大，運用分類討論思想，可以分三種情況：
（1）當∠P1DA=90°時；（2）當∠P2AD=90°時；（3）當AP3D=90°時。

解：（1）∵拋物線y=ax2-x+3（a≠0）的對稱軸為直線x=-2．

∴D（-2，4）．

（2）探究一：當0＜t＜4時，W有最大值．
∵拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，
∴A（-6，0），B（2，0），C（0，3），
∴OA=6，OC=3．
當0＜t＜4時，作DM⊥y軸于M，

則DM=2，OM=4．
∵P（0，t），
∴OP=t，MP=OM-OP=4-t．
∵S三角形PAD=S梯形OADM-S三角形AOP-S三角形DMP

=12-2t
∴W=t（12-2t）=-2（t-3）2+18
∴當t=3時，W有最大值，W最大值=18．
探究二：
存在．分三種情況：
①當∠P1DA=90°時，作DE⊥x軸于E，則OE=2，DE=4，∠DEA=90°，

∴AE=OA-OE=6-2=4=DE．
∴∠DAE=∠ADE=45°，

∴∠P1DE=∠P1DA-∠ADE=90°-45°=45度．
∵DM⊥y軸，OA⊥y軸，
∴DM∥OA，
∴∠MDE=∠DEA=90°，
∴∠MDP1=∠MDE-∠P1DE=90°-45°=45度．
∴P1M=DM=2，

此時

又因為∠AOC=∠P1DA=90°，
∴Rt△ADP1∽Rt△AOC，
∴OP1=OM-P1M=4-2=2，
∴P1（0，2）．
∴當∠P1DA=90°時，存在點P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC，
此時P1點的坐標為（0，2）
②當∠P2AD=90°時，則∠P2AO=45°，

∴△P2AD與△AOC不相似，此時點P2不存在．

③當∠AP3D=90°時，以AD為直徑作⊙O1，則⊙O1的半徑

圓心O1到y軸的距離d=4．
∵d＞r，
∴⊙O1與y軸相離．
不存在點P3，使∠AP3D=90度．
∴綜上所述，只存在一點P（0，2）使Rt△ADP與Rt△AOC相似．