Question

【題目】如圖，在直角三角形△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝16cm，點(diǎn)P從A開始沿AB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)．P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)則另一動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)

(1)求t為何值時(shí)，△PBQ為等腰三角形？

(2)是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)Q在線段AC的垂直平分線上？

(3)點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻t，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)與面積同時(shí)分為1：2兩部分？若存在，求出t，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)t＝2；(2)t＝秒；(3)存在，當(dāng)t＝2時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)與面積同時(shí)分為1：2兩部分．

【解析】

（1）根據(jù)題意求出AP＝2t，BQ＝4t，根據(jù)等腰三角形的概念列出方程，解方程即可；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到QC＝QA，根據(jù)勾股定理表示出AQ，根據(jù)題意列出方程，解方程即可；

（3）分AC+AP+CQ＝2×（BP+BQ）和2（AC+AP+CQ）＝BP+BQ兩種情況，根據(jù)周長(zhǎng)公式求出t，根據(jù)三角形的面積公式判斷即可．

解：(1)由題意得，AP＝2t，BQ＝4t，

則BP＝12﹣2t，

當(dāng)△PBQ為等腰三角形時(shí)，只有BP＝BQ，

∴12﹣2t＝4t，

解得，t＝2；

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC的垂直平分線上時(shí)，QC＝QA，

設(shè)BQ＝x，

則＝16﹣x，

解得，x＝3.5，即BQ＝3.5，

∴t＝＝(秒)；

(3)在Rt△ABC中，AC＝＝20，

△ABC的面積＝×AB×BC＝96cm2，

當(dāng)直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)分為1：2兩部分時(shí)，

①當(dāng)AC+AP+CQ＝2×(BP+BQ)時(shí)，20+2t+16﹣4t＝2(12﹣2t+4t)，

解得，t＝2，

則PB＝12﹣4＝8，BQ＝4×2＝8，

則△BPQ的面積＝×PB×QB＝32，

∴四邊形CAPQ的面積＝96﹣32＝64，

△BPQ的面積：四邊形CAPQ的面積＝1：2，

∴當(dāng)t＝2時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)與面積同時(shí)分為1：2兩部分，

②當(dāng)2(AC+AP+CQ)＝BP+BQ時(shí)，2(20+2t+16﹣4t)＝12﹣2t+4t，

解得，t＝10(不合題意)，

∴當(dāng)t＝2時(shí)，直線PQ把△ABC的周長(zhǎng)與面積同時(shí)分為1：2兩分．