【題目】某學(xué);顒(dòng)小組在作三角形的拓展圖形,研究其性質(zhì)時(shí),經(jīng)歷了如下過程:
操作發(fā)現(xiàn):
(1)已知,△ABC,如圖1,分別以AB和AC為邊向△ABC外側(cè)作等邊△ABD和等邊△ACE,連接BE、CD,請(qǐng)你完成作圖 , 并猜想BE與CD的數(shù)量關(guān)系是 . (要求:尺規(guī)作圖,不寫作法但保留作圖痕跡)
類比探究:

(2)如圖2,分別以AB和AC為邊向△ABC外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG,連接CE、BG,則線段CE、BG有什么關(guān)系?說明理由.
靈活運(yùn)用:

(3)如圖3,已知△ABC中,∠ABC=45°,AB=2 ,BC=3,過點(diǎn)A作EA⊥AC,垂足為A,且滿足AC=AE,求BE的長(zhǎng).

【答案】
(1);BE=CD
(2)

結(jié)論:CE=BG且EC⊥BG.

理由:在正方形ABDE和正方形ACFG中,設(shè)CE交BG于O,EC交AB于K.

∵AE=AB,AC=AG,∠EAB=∠CAG=90°,

在△ACE和△AGB中,

,

∴△ACE≌△AGB,

∴CE=BG,∠AEC=∠ABG,

∵∠AKE=∠BKO,

∴∠BOK=∠EAK=90°,

∴EC⊥BG,EC=BG.


(3)

以AB為腰向外作等腰直角三角形Rt△ABG,連接CG.

在Rt△ABG中,∵AB=AG=2

∴BG= =4,

∵∠GBA=∠ABC=45°,

∴∠GBC=90°,

∴CG= =5,

∵AG=AB,AE=AC,∠BAG=∠EAC=90°,

∴∠GAC=∠EAB,

在△GAC和△EAB中,

∴△AGC≌△ABE,

∴CG=BE,

∵CG=5,

∴BE=5.


【解析】解:(1)作圖如下,

猜想:BE=CD.
理由:∵AB=AD.AC=AE,∠DAB=∠EAC,
∴∠DAC=∠EAB,
在△DAC和△EAB中,
,
∴△DAC≌△EAB,
∴CD=BE.
所以答案是BE=CD.
【考點(diǎn)精析】利用等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°;正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度,并在數(shù)軸上標(biāo)出A、B兩點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)3s時(shí)的位置;

2)若A、B兩點(diǎn)從(1)中的位置同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),幾秒時(shí),原點(diǎn)恰好處在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的正中間?

3)在(2)中原點(diǎn)恰好處在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的正中間時(shí),AB兩點(diǎn)同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng),另一動(dòng)點(diǎn)C和點(diǎn)B同時(shí)從點(diǎn)B位置出發(fā)向A運(yùn)動(dòng),當(dāng)遇到A后,立即返回向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),遇到點(diǎn)B后又立即返回向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),如此往返,直到B追上A時(shí),C立即停止運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)C一直以20單位長(zhǎng)度/s的速度勻速運(yùn)動(dòng),那么點(diǎn)C從開始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng),行駛的路程是多少個(gè)單位長(zhǎng)度?

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