【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點.

(1)求拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

(2)M是線段BC上的點(不與B、C重合),過MMNy軸交拋物線于N,連接NB.若點M的橫坐標(biāo)為t,是否存在t,使MN的長最大?若存在,求出sinMBN的值;若不存在,請說明理由;

(3)若對一切x≥0均有ax2+bx+c≤mx-m+13成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)存在,sinMBN=;(3)-6≤m≤10

【解析】

(1)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;

(2)先求出直線BC的解析式,設(shè)M(t,-t+3)N(t,-t2+2t+3),得出MNt的二次函數(shù),即可求出MN的最大值;延長NMOBE,證出BME為等腰直角三角形,求出BEBM、BN,過點MBNM的高MH,則∠MHB=MHN=90°,設(shè)BH=x,根據(jù)勾股定理求出BH,再由勾股定理求出MH,即可求出sinMBN;

(3)y1=-x2+2x+3;y2=mx-m+13,得直線y2=mx-m+13過點(113);當(dāng)y1=y2時,-x2+2x+3=mx-m+13,得出=m2-36=0,求出m的值,當(dāng)直線y2=mx-m+13過點C時,m=10,結(jié)合圖象即可得出m的取值范圍.

解:(1)根據(jù)題意得:

解得:a=-1,b=2,c=3

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y=-x2+2x+3

(2)存在;理由如下:設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b

B(3,0)、C(0,3)代入得:,

解得:k=-1b=3,

∴直線BC的解析式為:y=-x+3

設(shè)M(t,-t+3),N(t,-t2+2t+3)

MN=(-t2+2t+3)-(-t+3)=-t2+3t=-(t-)2+;

-10

MN由最大值,

當(dāng)t=時,MN的最大值為

此時M(,)N(,),

MN=-=

B(3,0)C(0,3)

OB=OC=3,

∵∠BOC=90°,

∴∠OBC=45°,

延長NMOBE,如圖1所示:

MEOB,

∴△BME為等腰直角三角形,

∴∠MBE=45°,

BE=3-=,

BM=BE=;

BN===

過點MBNM的高MH,則∠MHB=MHN=90°,

MH2=BM2-BH2=MN2-NH2,

設(shè)BH=x,則NH=-x,

()2-x2=()2-(-x)2

解得:x=,

BH=

MH==;

sinMBN==

(3)y1=-x2+2x+3;y2=mx-m+13,

x=1時,y2=13,

∴直線y2=mx-m+13過點(1,13)

當(dāng)y1=y2時,-x2+2x+3=mx-m+13,

整理得:x2+(m-2)x-m+10=0,

△=(m-2)2-4×1×(-m+10)=m2-36=0,

解得:m=-6,或m=6,

當(dāng)直線y2=mx-m+13過點C時,m=10,

由圖象可知(如圖2所示),

當(dāng)-6≤m≤10時,均有y1≤y2,

m的取值范圍為:-6≤m≤10

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