Question

【題目】已知拋物線y1＝ax2－2amx+am2+4，直線y2＝kx－km+4，其中a≠0，a、k、m是常數(shù)．

(1)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______，并說明上述拋物線與直線是否經(jīng)過同一點(diǎn)(說明理由)；

(2)若a＜0，m=2，t≤x ≤t+2，y1的最大值為4，求t的范圍；

(3)拋物線的頂點(diǎn)為P，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，對任意的m值，若1≤k≤4，線段PQ(不包括端點(diǎn))上至少存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，求a的范圍．

Answer 1

【答案】(1)（m，4）；拋物線與直線都經(jīng)過同一點(diǎn)(m，4)，理由見解析； (2)0≤t≤2；(3) 或者

【解析】

(1)先把拋物線方程化為頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線y2＝kx－km+4恒過的頂點(diǎn)，即可求解；

(2) 當(dāng)m=2時(shí)，，再結(jié)合t≤x ≤t+2，y1的最大值為4，即可算出答案；

(3)聯(lián)立拋物線和一次函數(shù)的解析式，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再線段PQ(不包括端點(diǎn))上至少存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)列不等式計(jì)算即可得到答案．

解：(1) 把拋物線y1＝ax2－2amx+am2+4化為頂點(diǎn)式為：

，

故頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，4)，

又∵直線y2＝kx－km+4=k(x-m)+4，

∴直線y2＝kx－km+4恒過點(diǎn)(m，4)，

故拋物線與直線是否經(jīng)過同一點(diǎn)(m，4) ．

(2)當(dāng)m=2時(shí)，，

又∵a＜0，

∴拋物線開口向下，在x=2時(shí)取到最大值4，

又∵t≤x ≤t+2，y1的最大值為4，

∴

∴0≤t≤2；

(3)令 ，則有 =kx－km+4，解得 =m， =m+ ．

∵線段PQ上至少存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)，k>0，

∴ 或者，

又∵1≤k≤4，

∴或者；