Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC＝10，tan∠ABC＝，點(diǎn)P是邊BC上的一點(diǎn)，M是線段AP上一點(diǎn)，線段PM繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段PN，設(shè)BP＝t．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B，點(diǎn)M是AP中點(diǎn)時(shí)，試求AN的長；

(2)如圖②，當(dāng)＝時(shí)，

①求點(diǎn)N到BC邊的距離(用含t的代數(shù)式表示)；

②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)路徑的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當(dāng)0≤t≤6時(shí)，，當(dāng)6≤t≤10時(shí)，；②

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形中的勾股定理進(jìn)行解答即可；
（2）①分0≤t≤6和6≤t≤10兩種情況，利用相似三角形進(jìn)行解答；
②利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．

（1）∵在Rt△ABN中，∠ABN＝90°，AB＝10，

∴BN＝BM＝AB＝5，

∴AN＝＝；

（2）①（Ⅰ）當(dāng)0≤t≤6時(shí)（如圖①），

圖①圖②

如解圖：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NF⊥BC于點(diǎn)F，

∵tan∠ABC＝＝，設(shè)AE＝4x，則BE＝3x，

在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，

∴AB2＝AE2＋BE2，102＝（3x）2＋（4x）2，

解得：x＝2，∴AE＝8，BE＝6

當(dāng)0≤t≤6時(shí)．

∵∠AEP＝∠PFN＝90°，∠APE＋∠FPN＝90°，∠APF＋∠PAE＝90°，

∴∠PAE＝∠FPN，

∴△APE∽△PNF，

∵＝，

∴＝＝＝，

∴；

（Ⅱ）當(dāng)6≤t≤10時(shí)，

同理可得：

②如圖②點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑是一條線段，

當(dāng)P與O重合時(shí)，FN＝，PF＝2，

當(dāng)P與C重合時(shí)，F′N′＝1，CF′＝2，

∴點(diǎn)N的路徑長NN′＝＝．