【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,D、E、F分別是AC、BC、AB的中點,連接DE.點P從點D出發(fā),沿DE方向勻速運動;同時,點Q從點E出發(fā),沿EB方向勻速運動,兩者速度均為1cm/s;當其中一點停止運動時,另外一點也停止運動.連接PQ、PF,設(shè)運動時間為ts(0<t<4).解答下列問題:
(1)當t為何值時,△EPQ為等腰三角形?
(2)如圖①,設(shè)四邊形PFBQ的面積為ycm2,求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當t為何值時,四邊形PFBQ的面積與△ABC的面積之比為2:5?
(4)如圖②,連接FQ,是否存在某一時刻,使得PF與QF互相垂直?若存在,求出此時t的值;若不存,請說明理由.
【答案】(1)當t=時,△EPQ為等腰三角形;(2)y=;(3)1;(4)t=時,PF與QF互相垂直.
【解析】
(1)根據(jù)勾股定理求出AB=10,由DE是中位線可知DE=5,△EPQ為等腰三角形只需PE=EQ,即t=5-t,解方程即可.(2)過P作PH⊥BC于H,連接FE,由sin∠PEH=,可知PH=,即△EQP的高,根據(jù)△CDE可求出DE邊的高,即△PEF和△EFB的高,根據(jù)y=S△PEF+S△EFB﹣S△EQP,即可得答案;(3)先求出△ABC的面積,根據(jù)(2)所得關(guān)系式及已知面積比,列方程即可得答案.(4)如圖③過P作PG⊥AB于G,過Q作QH⊥AB于H,過D作DM⊥AB于M,由勾股定理可知AM的長,△BHQ中,利用∠B的三角函數(shù)值可得BH、QH的長,由PF⊥FQ,可證明△PGF∽△FHQ,根據(jù)對應(yīng)邊的關(guān)系列出方程即可求得t的值.
(1)∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,
∴AB=10cm,
由題意得:DP=EQ=t,
∵D為AC的中點,E為BC的中點,
∴DE=AB=5cm,
當EP=EQ時,5﹣t=t,
t=,
即當t=時,△EPQ為等腰三角形;
(2)如圖②,過P作PH⊥BC于H,連接FE,
sin∠PEH= ,
∴ ,
∴PH= ,
設(shè)△DCE中,DE邊上的高為h,
×3×4=×5h,h=,
∴y=S△PEF+S△EFB﹣S△EQP,
=×PE+×FB﹣EQPH,
=(5﹣t)+×5﹣ ,
=﹣t+12;
(3)∵,
∴5S四邊形PFBQ=2S△ABC,
∴5(﹣t+12)=2××6×8,
t2﹣9t+8=0,
t1=1,t2=8(舍);
(4)如圖③,過P作PG⊥AB于G,過Q作QH⊥AB于H,過D作DM⊥AB于M,
由(3)知:PG=DM=,
Rt△ADM中,∵AD=3,
∴AM=,
∴FG=5﹣﹣t=﹣t,
Rt△QHB中,BQ=4﹣t,
sin∠B= ,
∴QH=,
∴BH=,
∴FH=5﹣BH=,
∵PF⊥FQ,
易得△PGF∽△FHQ,
∴,
∴PGQH=FHGF,
∴,
4t2﹣11t=0,
t1=0(舍),t2=.
∴當t=時,PF與QF互相垂直.
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【題目】對于一元二次方程,下列說法:
①若,方程有兩個不等的實數(shù)根;
②若方程有兩個不等的實數(shù)根,則方程也一定有兩個不等的實數(shù)根;
③若是方程的一個根,則一定有成立;
④若是方程的一個根,則一定有成立,其中正確的只有( )
A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ①④
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【題目】在水果銷售旺季,某水果店購進一優(yōu)質(zhì)水果,進價為 20 元/千克,售價不低于 20 元/千克,且不超過 32 元/千克,根據(jù)銷售情況,發(fā)現(xiàn)該水果一天的銷售量 y(千克)與該天的售價 x(元/千克)滿足如下表所示的一次函數(shù)關(guān)系.
銷售量 y(千克) | … | 34.8 | 32 | 29.6 | 28 | … |
售價 x(元/千克) | … | 22.6 | 24 | 25.2 | 26 | … |
(1)某天這種水果的售價為 23.5 元/千克,求當天該水果的銷售量.
(2)如果某天銷售這種水果獲利 150 元,那么該天水果的售價為多少元?
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【題目】如圖,點D在△ABC的邊AB上,且∠ACD=∠A.
(1)作∠BDC的平分線DE,交BC于點E.(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,但不必寫出作法);
(2)在(1)的條件下,求證:DE∥AC.
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【題目】環(huán)保局對某企業(yè)排污情況進行檢測,結(jié)果顯示:所排污水中硫化物的濃度超標,即硫化物的濃度超過最高允許的1.0 mg/L.環(huán)保局要求該企業(yè)立即整改,在15天以內(nèi)(含15天)排污達標.整改過程中,所排污水中硫化物的濃度y(mg/L)與時間x(天)的變化規(guī)律如圖所示,其中線段AB表示前3天的變化規(guī)律,其中第3天時硫化物的濃度降為4 mg/L.從第3天起所排污水中硫化物的濃度y與時間x滿足下面表格中的關(guān)系:
時間x(天) | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | …… |
硫化物的濃y(mg/L) | 4 | 3 | 2.4 | 2 | 1.5 |
(1)求整改過程中當0≤x<3時,硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式;
(2)求整改過程中當x≥3時,硫化物的濃度y與時間x的函數(shù)表達式;
(3)該企業(yè)所排污水中硫化物的濃度,能否在15天以內(nèi)不超過最高允許的1.0 mg/L?為什么?
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【題目】給出下列說法,其中正確的是( )
①關(guān)于的一元二次方程,若,則方程一定沒有實數(shù)根;
②關(guān)于的一元二次方程,若,則方程必有實數(shù)根;
③若是方程的根,則;
④若,,為三角形三邊,方程有兩個相等實數(shù)根,則該三角形為直角三角形.
A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④
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【題目】某地地震牽動著全國人民的心,某單位開展了“一方有難,八方支援”賑災(zāi)捐款活動.第一天收到捐款元,第三天收到捐款元.
如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同,求捐款增長率?
按照中收到捐款的增長率不變,該單位三天一共能收到多少捐款?
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【題目】如圖,已知正方形DEFG的頂點D、E在△ABC的邊BC上,頂點G、F分別在邊AB、AC上.如果BC=4,△ABC的面積是6,那么這個正方形的邊長是_____.
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【題目】如圖,l1和l2分別是走私船和我公安快艇航行路程與時間的函數(shù)圖象,請結(jié)合圖象解決下列問題:
(1)在剛出發(fā)時,我公安快艇距走私船多少海里?
(2)計算走私船與公安艇的速度分別是多少?
(3)求出l1,l2的解析式.
(4)問6分鐘時,走私船與我公安快艇相距多少海里?
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