【題目】已知拋物線:的項(xiàng)點(diǎn)為,交軸于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)),且

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn),交軸于點(diǎn),若的面積被軸分為1: 4兩個(gè)部分,求直線的解析式;

(3)在(2)的情況下,將拋物線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為何值時(shí),為直角三角形?

【答案】1;(2)直線的解析式為;(3)點(diǎn)橫坐標(biāo)為時(shí),

【解析】

1)求拋物線l1的頂點(diǎn)P0,-2)得OP=2,由求得BP的長(zhǎng),進(jìn)而求得OB即點(diǎn)B坐標(biāo),代入拋物線l1的解析式即求得a的值.

2)求點(diǎn)A坐標(biāo)為(-4,0),設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,把點(diǎn)A代入得b=4k,所以能用k表示點(diǎn)D坐標(biāo),進(jìn)而用k表示AODBOD的面積.把直線AC解析式與拋物線l1解析式聯(lián)立方程,即y相等時(shí)得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程,解即為點(diǎn)A、C橫坐標(biāo),利用根與系數(shù)的關(guān)系求出點(diǎn)C橫坐標(biāo)(用k表示),進(jìn)而可用k表示C的縱坐標(biāo),再得到用k表示的ABC面積.當(dāng)k0時(shí),顯然SAODS四邊形OBCD=14,即SAOD=SABC,故得到關(guān)于k的方程,求解即得k的值.當(dāng)k0,則得到的方程與k0時(shí)相同,求得的k不滿足題意.綜合即求得直線AC的解析式.

3)由于不確定點(diǎn)B、D、M哪個(gè)為直角頂點(diǎn),故需分三種情況討論.設(shè)點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m,①若∠BDM=90°,過MMNy軸于點(diǎn)N,可證BDO∽△DMN,用m表示MNDN的長(zhǎng),代入相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即列得方程求m的值.②若∠DBM=90°,過點(diǎn)MMQx軸于點(diǎn)Q,可證BMQ∽△DBO,用m表示BQ、MQ的長(zhǎng),代入相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即列得方程求m的值.③若∠BMD=90°,則點(diǎn)M在以BD為直徑的圓除點(diǎn)BD外的圓周上,但顯然以AB為直徑的圓與拋物線l2無交點(diǎn),故此情況不存在滿足的m

1)當(dāng)時(shí),

∴頂點(diǎn),

,代入拋物線得:

,解得,

∴拋物線的函數(shù)解析式為

2)∵知拋物線軸于、兩點(diǎn)

、關(guān)于軸對(duì)稱,即

設(shè)直線解析式:點(diǎn)代入得:

∴直線,

,整理得:

,

①若,則

解得:(舍去),

∴直線的解析式為

②若,則,

解得:(舍去),(舍去)

綜上所述,直線的解析式為.

3)由(2)得:,

∵拋物線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到拋物線

∴拋物線解析式為:

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為

①若,如圖1,則 軸于點(diǎn)

,,

,即

解得:,

②若,如圖2,過點(diǎn)軸于點(diǎn)

,

,即

解得:,

③若,則點(diǎn)在以為直徑的圓除點(diǎn)、外的圓周上

顯然以為真徑的圓與拋物線無交點(diǎn),故此情況不存在滿足的

綜上所述,點(diǎn)橫坐標(biāo)為時(shí),.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求拋物線的解析式;

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A.B.C.D.

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