Question

【題目】如圖，直線y＝x+c與x軸交于點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ACPB的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出使∠MBC＝∠ABC的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）點(diǎn)P（2，﹣）；（3）或．

【解析】

（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入并解得：，故拋物線的表達(dá)式為：，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式，即可求解；

（2）因?yàn)?/span>S四邊形ACPB=S△AOC+S△PCB，∵S△AOC是常數(shù)，故四邊形面積最大，只需要S△PCB最大即可，S△PCB= ，即可求解；

（3）過(guò)點(diǎn)B作∠ABC的角平分線交y軸于點(diǎn)G，交拋物線于M，利用角平分線的性質(zhì)求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求直線的解析式，聯(lián)立解析式解方程組即可得到一個(gè)答案，利用角的對(duì)稱(chēng)性求出在下方時(shí)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求出直線的解析式，即可聯(lián)立解析式求解．

解：（1）將點(diǎn)B坐標(biāo)代入并解得：c＝﹣3，

故拋物線的表達(dá)式為：，

將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式并解得：，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣x﹣3；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸交BC于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，

S四邊形ACPB＝S△ABC+S△PCB，

∵S△ABC是常數(shù)，故四邊形面積最大，只需要S△PCB最大即可，

S△PCB＝×OB×PH＝，

∵＜0，∴S△PCB有最大值，此時(shí)，點(diǎn)P（2，﹣）；

（3） 過(guò)點(diǎn)B作∠ABC的角平分線交y軸于點(diǎn)G，交拋物線于M，

因?yàn)椋?/span>，所以：，

由角平分線的性質(zhì)得： 所以：，

解得：，所以：，

設(shè)為：，所以：

，解得： ，

所以為：，

所以： ，

解得： ，

所以：此時(shí)M

過(guò)點(diǎn)G作GK⊥BC交BC于點(diǎn)K，延長(zhǎng)GK交BM于點(diǎn)H，使，

則，BC是GH的中垂線， OB=4，OC=3，則BC=5，

在Rt△GCK中，，，

則cos∠CGK=，sin∠CGK=，

則點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)K是點(diǎn)GH的中點(diǎn)，

則點(diǎn)，

則直線BH的表達(dá)式為：，

所以：，

解得：，

所以：．

綜上：或．