Question

如圖，拋物線y＝x²＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0,－3），且拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1．

（1）求b的值；
（2）點(diǎn)E是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交y軸于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限．當(dāng)線段PQ = AB時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M在射線CA上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作MN⊥y軸，垂足為N，以M為圓心，MN為半徑作⊙M,當(dāng)⊙M與x軸相切時(shí)，求⊙M的半徑.

Answer 1

（1）b="-2" （2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，- ） （3）

試題分析：解：（1）由圖可知，對(duì)稱軸x=1
X===1
即b=-1
（2）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1
∴設(shè)拋物線的解析式為y＝(x-1)²＋k
∵拋物線過點(diǎn)C（0,－3），
∴ (0-1)²＋k＝-3
解得k＝-4
拋物線的解析式為y＝(x-1)²-4＝x²-2x-3
令y=0，則x²-2x-3=0
解得x₁ = 3，x₂ = -1
點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1,0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（3,0）
∴AB=4，又PQ = AB
∴PQ ="3"
∵PQ⊥y軸
∴PQ∥x軸
設(shè)直線PQ交直線x=1于點(diǎn)G
由拋物線的軸對(duì)稱性可得，PG=
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 -  
將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入y＝x²-2x-3中，得y =" -"
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（- ，- ）
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，- ）
∴FC=" -"  -( -3)=  
∵PQ垂直平分CE
∴CE="2" FC=
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，- ）
(3)設(shè)直線l _{A C}：y="k" x+ b(k≠0)
過點(diǎn)A（-1,0），C（0，-3）
∴y=-3x+3
∴M（x_M,-3x_M+3）
又∵⊙M與x軸相切，MN⊥y軸
∴x _M=-3x_M+3
∴x _M=
∴⊙M的半徑為

點(diǎn)評(píng)：此類題可以利用拋物線的對(duì)稱性可求出拋物線的解析式，函數(shù)值，兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)的坐標(biāo)，利用對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)也可以求出其對(duì)稱軸，要認(rèn)真體會(huì)，靈活應(yīng)用。