【題目】問(wèn)題提出:
有n個(gè)環(huán)環(huán)相扣的圓環(huán)形成一串線型鏈條,當(dāng)只斷開(kāi)其中的k(k<n)個(gè)環(huán),要求第一次取走一個(gè)環(huán),以后每次都只能比前一次多得一個(gè)環(huán),則最多能得到的環(huán)數(shù)n是多少呢?
問(wèn)題探究:
為了找出n與k之間的關(guān)系,我們運(yùn)用一般問(wèn)題特殊化的方法,從特殊到一般,歸納出解決問(wèn)題的方法.
探究一:k=1,即斷開(kāi)鏈條其中的1個(gè)環(huán),最多能得到幾個(gè)環(huán)呢?
當(dāng)n=1,2,3時(shí),斷開(kāi)任何一個(gè)環(huán),都能滿足要求,分次取走;
當(dāng)n=4時(shí),斷開(kāi)第二個(gè)環(huán),如圖①,第一次取走1環(huán);第二次退回1環(huán)換取2環(huán),得2個(gè)環(huán);第三次再取回1環(huán),得3個(gè)環(huán);第四次再取另1環(huán),得4個(gè)環(huán),按要求分4次取走.
當(dāng)n=5,6,7時(shí),如圖②,圖③,圖④方式斷開(kāi),可以用類似上面的方法,按要求分5,6,7次取走.
當(dāng)n=8時(shí),如圖⑤,無(wú)論斷開(kāi)哪個(gè)環(huán),都不可能按要求分次取走.
所以,當(dāng)斷開(kāi)1個(gè)環(huán)時(shí),從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成3部分,分別是1環(huán)、2環(huán)和4環(huán),最多能得到7個(gè)環(huán).
即當(dāng)k=1時(shí),最多能得到的環(huán)數(shù)n=1+2+4=1+2×3=1+2×(22-1)=7.
探究二:k=2,即斷開(kāi)鏈條其中的2個(gè)環(huán),最多能得到幾個(gè)環(huán)呢?
從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,按圖⑥方式斷開(kāi),把鏈條分成5部分,按照類似探究一的方法,按要求分1,2,…23次取走.
所以,當(dāng)斷開(kāi)2個(gè)環(huán)時(shí),把鏈條分成5部分,分別是1環(huán)、1環(huán)、3環(huán)、6環(huán)、12環(huán),最多能得到23個(gè)環(huán).
即當(dāng)k=2時(shí),最多能得到的環(huán)數(shù)n=1+1+3+6+12=2+3×7=2+3×(23-1)=23.
探究三:k=3,即斷開(kāi)鏈條其中的3個(gè)環(huán),最多能得到幾個(gè)環(huán)呢?
從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,按圖⑦方式斷開(kāi),把鏈條分成7部分,按照類似前面探究的方法,按要求分1,2,…63次取走.
所以,當(dāng)斷開(kāi)3個(gè)環(huán)時(shí),從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成7部分,分別是1環(huán)、1環(huán)、1環(huán)、4環(huán)、8環(huán)、16環(huán)、32環(huán),最多能得到63個(gè)環(huán).
即當(dāng)k=3時(shí),最多能得到的環(huán)數(shù)n=1+1+1+4+8+16+32=3+4×15=3+4×(24-1)=63.
探究四:k=4,即斷開(kāi)鏈條其中的4個(gè)環(huán),最多能得到幾個(gè)環(huán)呢?
按照類似前面探究的方法,當(dāng)斷開(kāi)4個(gè)環(huán)時(shí),從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成 部分,分別為 ,最多能得到的環(huán)數(shù)n= .請(qǐng)畫出如圖⑥的示意圖.
模型建立:
有n個(gè)環(huán)環(huán)相扣的圓環(huán)形成一串線型鏈條,斷開(kāi)其中的k(k<n)個(gè)環(huán),從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成 部分,
分別是:1、1、1……1、k+1、 、……、 ,最多能得到的環(huán)數(shù)n = .
實(shí)際應(yīng)用:
一天一位財(cái)主對(duì)雇工說(shuō):“你給我做兩年的工,我每天付給你一個(gè)銀環(huán).不過(guò),我用一串環(huán)環(huán)相扣的線型銀鏈付你工錢,但你最多只能斷開(kāi)銀鏈中的6個(gè)環(huán).如果你無(wú)法做到每天取走一個(gè)環(huán),那么你就得不到這兩年的工錢,如果銀鏈還有剩余,全部歸你!你愿意嗎?”
聰明的你是否可以運(yùn)用本題的方法通過(guò)計(jì)算幫助雇工解決這個(gè)難題,雇工最多能得到總環(huán)數(shù)為多少環(huán)的銀鏈?
【答案】探究四:詳見(jiàn)解析;模型建立:詳見(jiàn)解析;實(shí)際應(yīng)用:雇工最多能得到總環(huán)數(shù)為895環(huán)的銀鏈
【解析】
探究四:根據(jù)題意畫出圖形分析,由此得出答案;
模型建立:由前面當(dāng)n=1,2,3,4分析可得,從而得出其中的規(guī)律;
實(shí)際應(yīng)用:當(dāng)k=6代入n = k+(k+1)×(2k+1-1)計(jì)算即可.
探究四:k=4,即斷開(kāi)鏈條其中的4個(gè)環(huán),最多能得到幾個(gè)環(huán)呢?
按照類似前面探究的方法,當(dāng)斷開(kāi)4個(gè)環(huán)時(shí),從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成 九 部分,分別為 1,1,1,1,5,10,20,40,80 ,最多能得到的環(huán)數(shù)n= 1+1+1+1+5+10+20+40+80=4+5×(25-1)=159 .
示意圖.
模型建立:有n個(gè)環(huán)環(huán)相扣的圓環(huán)形成一串線型鏈條,斷開(kāi)其中的k(k<n)個(gè)環(huán),從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成 2k+1 部分,
分別是:1、1、1……1、k+1、 2(k+1) 、……、 2k(k+1) ,最多能得到的環(huán)數(shù)n = k+(k+1)×(2k+1-1) 個(gè).
實(shí)際應(yīng)用:
6+7×(27-1)=895.
因?yàn)?/span>895大于兩年的天數(shù),
所以愿意.
答:雇工最多能得到總環(huán)數(shù)為895環(huán)的銀鏈.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某小區(qū)有一塊長(zhǎng)為30m,寬為24m的矩形空地,計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地,它們的面積之和為480m2,兩塊綠地之間及周邊有寬度相等的人行通道,設(shè)人行通道的寬度為xm,則可列方程為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某人在山坡坡腳C處測(cè)得一座建筑物頂點(diǎn)A的仰角為63.4°,沿山坡向上走到P處再測(cè)得該建筑物頂點(diǎn)A的仰角為53°.已知BC=90米,且B、C、D在同一條直線上,山坡坡度i=5:12.
(1)求此人所在位置點(diǎn)P的鉛直高度.(結(jié)果精確到0.1米)
(2)求此人從所在位置點(diǎn)P走到建筑物底部B點(diǎn)的路程(結(jié)果精確到0.1米)
(測(cè)傾器的高度忽略不計(jì),參考數(shù)據(jù):tan53°≈,tan63.5°≈2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知菱形ABCD,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AF⊥BC于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)EF、ED、DF,DE交AF于點(diǎn)G,且AE2=EGED.
(1)求證:DE⊥EF;
(2)求證:BC2=2DFBF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E、F分別為BC,CD的中點(diǎn),連接AE,BF交于點(diǎn)G,將△BCF沿BF對(duì)折,得到△BPF,延長(zhǎng)FP交AD于點(diǎn)M,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.連接BM,下列結(jié)論中:①AE=BF; ②AE⊥BF;③AQ=;④∠MBF=60°.
正確的結(jié)論是_____(填正確結(jié)論的序號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,E,F分別在邊AC,BC,若以EF為直徑作圓經(jīng)過(guò)AB上某點(diǎn)D,則EF長(zhǎng)的取值范圍為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣3,0)、B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OC=OA.
(1)求拋物線解析式;
(2)過(guò)直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)M作y軸的平行線,與直線AC交于點(diǎn)N.已知M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,試用含m的式子表示MN的長(zhǎng)及△ACM的面積S,并求當(dāng)MN的長(zhǎng)最大時(shí)S的值;
(3)如圖2,D(0,﹣2),連接BD,將△OBD繞平面內(nèi)的某點(diǎn)(記為P)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△O′B′D′,O、B、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O′、B′、D′.若點(diǎn)B′、D′兩點(diǎn)恰好落在拋物線上,求旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O,分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上,且∠A=2∠CBF.
(1)求證:BF與⊙O相切.
(2)若BC=CF=4,求BF的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A. 擲一枚均勻的骰子,骰子停止轉(zhuǎn)動(dòng)后,5點(diǎn)朝上是必然事件
B. 明天下雪的概率為,表示明天有半天都在下雪
C. 甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次,他們成績(jī)的平均數(shù)相同,方差分別是S甲2=0.4,S乙2=0.6,則甲的射擊成績(jī)較穩(wěn)定
D. 了解一批充電寶的使用壽命,適合用普查的方式
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