【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為2,E、F分別為BC,CD的中點(diǎn),連接AE,BF交于點(diǎn)G,將△BCF沿BF對折,得到△BPF,延長FP交AD于點(diǎn)M,交BA的延長線于點(diǎn)Q.連接BM,下列結(jié)論中:①AE=BF; ②AE⊥BF;③AQ=;④∠MBF=60°.
正確的結(jié)論是_____(填正確結(jié)論的序號).
【答案】①②③
【解析】
由題意可證△BFC≌△ABE,可判斷①②,由折疊可判斷④,根據(jù)勾股定理可求AM=,DM=,根據(jù)平行線分線段成比例可求AQ=,可判斷③
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=AD=CD=2,∠C=∠D=∠ABC=90°,
∵CF=BE,AB=BC,∠C=∠ABC,
∴△AEB≌△BCF,
∴AE=BF,∠EAB=∠FBC,
∵∠FBC+∠ABF=90°,
∴∠EAB+∠ABF=90°,
∴∠AGB=90°即AE⊥BF,
故①②正確,
∵折疊,
∴BC=BP,∠CBF=∠PBF,
∴AB=BP且BM=BM,
∴Rt△ABM≌Rt△BMP,
∴AM=MP,∠ABM=∠PBM,
∵∠ABM+∠PBM+∠CBF+∠PBF=90°,
∴∠MBF=45°,
故④錯誤,
∵在Rt△DMF中,MF2=FD2+DM2.
∴(1+AM)2=(2-AM)2+1,
∴AM=,
∴DM=,
∵CD∥BA,
∴,
∴AQ=
故③正確
故答案是:①②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn),另拋物線經(jīng)過點(diǎn),M為它的頂點(diǎn).
求拋物線的解析式;
求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,連接OC,過點(diǎn)A作AD∥OC,交BC的延長線于D,AB交OC于E,∠ABC=45°.
(1)求證:AD是⊙O的切線;
(2)若AE=,CE=3.
①求⊙O的半徑;
②求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,則下列結(jié)論錯誤的是( )
A. 4a+2b+c>0B. abc<0C. b<a﹣cD. 3b>2c
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,對稱軸直線x=2與x軸相交于點(diǎn)D,點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn),以每秒1個單位長度的速度從拋物線的頂點(diǎn)E向下運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t(s).
(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ,拋物線的解析式是 ;
(2)求當(dāng)t為何值時,△PAC的周長最。
(3)當(dāng)t為何值時,△PAC是以AC為腰的等腰三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題提出:
有n個環(huán)環(huán)相扣的圓環(huán)形成一串線型鏈條,當(dāng)只斷開其中的k(k<n)個環(huán),要求第一次取走一個環(huán),以后每次都只能比前一次多得一個環(huán),則最多能得到的環(huán)數(shù)n是多少呢?
問題探究:
為了找出n與k之間的關(guān)系,我們運(yùn)用一般問題特殊化的方法,從特殊到一般,歸納出解決問題的方法.
探究一:k=1,即斷開鏈條其中的1個環(huán),最多能得到幾個環(huán)呢?
當(dāng)n=1,2,3時,斷開任何一個環(huán),都能滿足要求,分次取走;
當(dāng)n=4時,斷開第二個環(huán),如圖①,第一次取走1環(huán);第二次退回1環(huán)換取2環(huán),得2個環(huán);第三次再取回1環(huán),得3個環(huán);第四次再取另1環(huán),得4個環(huán),按要求分4次取走.
當(dāng)n=5,6,7時,如圖②,圖③,圖④方式斷開,可以用類似上面的方法,按要求分5,6,7次取走.
當(dāng)n=8時,如圖⑤,無論斷開哪個環(huán),都不可能按要求分次取走.
所以,當(dāng)斷開1個環(huán)時,從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成3部分,分別是1環(huán)、2環(huán)和4環(huán),最多能得到7個環(huán).
即當(dāng)k=1時,最多能得到的環(huán)數(shù)n=1+2+4=1+2×3=1+2×(22-1)=7.
探究二:k=2,即斷開鏈條其中的2個環(huán),最多能得到幾個環(huán)呢?
從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,按圖⑥方式斷開,把鏈條分成5部分,按照類似探究一的方法,按要求分1,2,…23次取走.
所以,當(dāng)斷開2個環(huán)時,把鏈條分成5部分,分別是1環(huán)、1環(huán)、3環(huán)、6環(huán)、12環(huán),最多能得到23個環(huán).
即當(dāng)k=2時,最多能得到的環(huán)數(shù)n=1+1+3+6+12=2+3×7=2+3×(23-1)=23.
探究三:k=3,即斷開鏈條其中的3個環(huán),最多能得到幾個環(huán)呢?
從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,按圖⑦方式斷開,把鏈條分成7部分,按照類似前面探究的方法,按要求分1,2,…63次取走.
所以,當(dāng)斷開3個環(huán)時,從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成7部分,分別是1環(huán)、1環(huán)、1環(huán)、4環(huán)、8環(huán)、16環(huán)、32環(huán),最多能得到63個環(huán).
即當(dāng)k=3時,最多能得到的環(huán)數(shù)n=1+1+1+4+8+16+32=3+4×15=3+4×(24-1)=63.
探究四:k=4,即斷開鏈條其中的4個環(huán),最多能得到幾個環(huán)呢?
按照類似前面探究的方法,當(dāng)斷開4個環(huán)時,從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成 部分,分別為 ,最多能得到的環(huán)數(shù)n= .請畫出如圖⑥的示意圖.
模型建立:
有n個環(huán)環(huán)相扣的圓環(huán)形成一串線型鏈條,斷開其中的k(k<n)個環(huán),從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成 部分,
分別是:1、1、1……1、k+1、 、……、 ,最多能得到的環(huán)數(shù)n = .
實(shí)際應(yīng)用:
一天一位財主對雇工說:“你給我做兩年的工,我每天付給你一個銀環(huán).不過,我用一串環(huán)環(huán)相扣的線型銀鏈付你工錢,但你最多只能斷開銀鏈中的6個環(huán).如果你無法做到每天取走一個環(huán),那么你就得不到這兩年的工錢,如果銀鏈還有剩余,全部歸你!你愿意嗎?”
聰明的你是否可以運(yùn)用本題的方法通過計(jì)算幫助雇工解決這個難題,雇工最多能得到總環(huán)數(shù)為多少環(huán)的銀鏈?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知y關(guān)于x二次函數(shù)y=x2﹣(2k+1)x+(k2+5k+9)與x軸有交點(diǎn).
(1)求k的取值范圍;
(2)若x1,x2是關(guān)于x的方程x2﹣(2k+1)x+(k2+5k+9)=0的兩個實(shí)數(shù)根,且x12+x22=39,求k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,1),點(diǎn)B在x軸正半軸上,點(diǎn)D在第三象限的雙曲線y=上,過點(diǎn)C作CE∥x軸交雙曲線于點(diǎn)E,連接BE,則△BCE的面積為( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=8,AD=3.點(diǎn)E從D向C以每秒1個單位的速度運(yùn)動,以AE為一邊在AE的右下方作正方形AEFG.同時垂直于CD的直線MN也從C向D以每秒2個單位的速度運(yùn)動,當(dāng)經(jīng)過多少秒時.直線MN和正方形AEFG開始有公共點(diǎn)?( )
A. B. C. D.
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