【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣3,0)、B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OC=OA.
(1)求拋物線解析式;
(2)過(guò)直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)M作y軸的平行線,與直線AC交于點(diǎn)N.已知M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,試用含m的式子表示MN的長(zhǎng)及△ACM的面積S,并求當(dāng)MN的長(zhǎng)最大時(shí)S的值;
(3)如圖2,D(0,﹣2),連接BD,將△OBD繞平面內(nèi)的某點(diǎn)(記為P)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△O′B′D′,O、B、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O′、B′、D′.若點(diǎn)B′、D′兩點(diǎn)恰好落在拋物線上,求旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)MN=﹣m2﹣3m(﹣3<m<0),S△ACM=,m=﹣時(shí),MN最大,此時(shí)S=;(3)P(-,).
【解析】
(1)先求出點(diǎn)A坐標(biāo),再運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可;
(2)先求出直線AC的解析式,待定點(diǎn)M,N的坐標(biāo),用m表示線段MN的長(zhǎng)度,運(yùn)用二次函數(shù)分析其最值即可;
(3)根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì),明確B′D′與BD平行且相等,待定點(diǎn)B′、D′的坐標(biāo),代入拋物線解析式求解即可得出B′、D′的坐標(biāo),而后運(yùn)用中點(diǎn)公式求出中心的坐標(biāo)即可;
解:(1)由A(﹣3,0),且OC=OA可得
A(﹣3,0)
設(shè)拋物線解析式為y=a(x+3)(x﹣1),
將C(0,3)代入解析式得,﹣3a=3,解得a=﹣1,
∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3.
(2)如圖1,
設(shè)直線AC解析式為y=kx+d
∵A(﹣3,0),C(0,3),
∴ ,
解得 ,
∴直線AC解析式為y=x+3,
設(shè)M(m,﹣m2﹣2m+3),則N(m,m+3),則MN=﹣m2﹣2m+3﹣(m+3)=﹣m2﹣3m(﹣3<m<0),
S△ACM=S△AMN+S△CMN=MN×3=,
MN=﹣m2﹣3m=﹣+,
∵a=﹣1<0,﹣3<m=﹣1.5<0,
∴m=﹣時(shí),MN最大,此時(shí)S=;
(3)如圖2中,旋轉(zhuǎn)180°后,對(duì)應(yīng)線段互相平行且相等,則BD與B′D′互相平行且相等.
∵O′B′=OB=1,O′D′=OD=2,
設(shè)B′(t,﹣t2﹣2t+3),則D′(t+1,﹣t2﹣2t+3+2)
∵D′在拋物線上,則﹣(t+1)2﹣2(t+1)+3=﹣t2﹣2t+3+2,
解得,t=-,則B′的坐標(biāo)為(-,),
P是點(diǎn)B(1,0)和點(diǎn)B′(-,),的對(duì)稱中心,
,,
∴P(-,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市智慧閱讀活動(dòng)正如火如茶地進(jìn)行.某班學(xué)習(xí)委員為了解11月份全班同學(xué)課外閱讀的情況,調(diào)查了全班同學(xué)11月份讀書的冊(cè)數(shù),并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖:
(1)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“3冊(cè)”部分所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是 ,并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)該班的學(xué)習(xí)委員11月份的讀書冊(cè)數(shù)為4冊(cè),若該班的班主任從11月份讀書4冊(cè)的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名同學(xué)參加學(xué)校舉行的知識(shí)競(jìng)賽,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖求恰好有一名同學(xué)是學(xué)習(xí)委員的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( 。
A. 4a+2b+c>0B. abc<0C. b<a﹣cD. 3b>2c
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題提出:
有n個(gè)環(huán)環(huán)相扣的圓環(huán)形成一串線型鏈條,當(dāng)只斷開(kāi)其中的k(k<n)個(gè)環(huán),要求第一次取走一個(gè)環(huán),以后每次都只能比前一次多得一個(gè)環(huán),則最多能得到的環(huán)數(shù)n是多少呢?
問(wèn)題探究:
為了找出n與k之間的關(guān)系,我們運(yùn)用一般問(wèn)題特殊化的方法,從特殊到一般,歸納出解決問(wèn)題的方法.
探究一:k=1,即斷開(kāi)鏈條其中的1個(gè)環(huán),最多能得到幾個(gè)環(huán)呢?
當(dāng)n=1,2,3時(shí),斷開(kāi)任何一個(gè)環(huán),都能滿足要求,分次取走;
當(dāng)n=4時(shí),斷開(kāi)第二個(gè)環(huán),如圖①,第一次取走1環(huán);第二次退回1環(huán)換取2環(huán),得2個(gè)環(huán);第三次再取回1環(huán),得3個(gè)環(huán);第四次再取另1環(huán),得4個(gè)環(huán),按要求分4次取走.
當(dāng)n=5,6,7時(shí),如圖②,圖③,圖④方式斷開(kāi),可以用類似上面的方法,按要求分5,6,7次取走.
當(dāng)n=8時(shí),如圖⑤,無(wú)論斷開(kāi)哪個(gè)環(huán),都不可能按要求分次取走.
所以,當(dāng)斷開(kāi)1個(gè)環(huán)時(shí),從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成3部分,分別是1環(huán)、2環(huán)和4環(huán),最多能得到7個(gè)環(huán).
即當(dāng)k=1時(shí),最多能得到的環(huán)數(shù)n=1+2+4=1+2×3=1+2×(22-1)=7.
探究二:k=2,即斷開(kāi)鏈條其中的2個(gè)環(huán),最多能得到幾個(gè)環(huán)呢?
從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,按圖⑥方式斷開(kāi),把鏈條分成5部分,按照類似探究一的方法,按要求分1,2,…23次取走.
所以,當(dāng)斷開(kāi)2個(gè)環(huán)時(shí),把鏈條分成5部分,分別是1環(huán)、1環(huán)、3環(huán)、6環(huán)、12環(huán),最多能得到23個(gè)環(huán).
即當(dāng)k=2時(shí),最多能得到的環(huán)數(shù)n=1+1+3+6+12=2+3×7=2+3×(23-1)=23.
探究三:k=3,即斷開(kāi)鏈條其中的3個(gè)環(huán),最多能得到幾個(gè)環(huán)呢?
從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,按圖⑦方式斷開(kāi),把鏈條分成7部分,按照類似前面探究的方法,按要求分1,2,…63次取走.
所以,當(dāng)斷開(kāi)3個(gè)環(huán)時(shí),從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成7部分,分別是1環(huán)、1環(huán)、1環(huán)、4環(huán)、8環(huán)、16環(huán)、32環(huán),最多能得到63個(gè)環(huán).
即當(dāng)k=3時(shí),最多能得到的環(huán)數(shù)n=1+1+1+4+8+16+32=3+4×15=3+4×(24-1)=63.
探究四:k=4,即斷開(kāi)鏈條其中的4個(gè)環(huán),最多能得到幾個(gè)環(huán)呢?
按照類似前面探究的方法,當(dāng)斷開(kāi)4個(gè)環(huán)時(shí),從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成 部分,分別為 ,最多能得到的環(huán)數(shù)n= .請(qǐng)畫出如圖⑥的示意圖.
模型建立:
有n個(gè)環(huán)環(huán)相扣的圓環(huán)形成一串線型鏈條,斷開(kāi)其中的k(k<n)個(gè)環(huán),從得到更多環(huán)數(shù)的角度考慮,把鏈條分成 部分,
分別是:1、1、1……1、k+1、 、……、 ,最多能得到的環(huán)數(shù)n = .
實(shí)際應(yīng)用:
一天一位財(cái)主對(duì)雇工說(shuō):“你給我做兩年的工,我每天付給你一個(gè)銀環(huán).不過(guò),我用一串環(huán)環(huán)相扣的線型銀鏈付你工錢,但你最多只能斷開(kāi)銀鏈中的6個(gè)環(huán).如果你無(wú)法做到每天取走一個(gè)環(huán),那么你就得不到這兩年的工錢,如果銀鏈還有剩余,全部歸你!你愿意嗎?”
聰明的你是否可以運(yùn)用本題的方法通過(guò)計(jì)算幫助雇工解決這個(gè)難題,雇工最多能得到總環(huán)數(shù)為多少環(huán)的銀鏈?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知y關(guān)于x二次函數(shù)y=x2﹣(2k+1)x+(k2+5k+9)與x軸有交點(diǎn).
(1)求k的取值范圍;
(2)若x1,x2是關(guān)于x的方程x2﹣(2k+1)x+(k2+5k+9)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且x12+x22=39,求k的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,AB∥x軸,BC⊥x軸,垂足為C,連接AC,若△ABC的面積為2,則k的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,1),點(diǎn)B在x軸正半軸上,點(diǎn)D在第三象限的雙曲線y=上,過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸交雙曲線于點(diǎn)E,連接BE,則△BCE的面積為( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列圖形中不一定是相似圖形的是( )
A. 兩個(gè)等邊三角形B. 兩個(gè)等腰直角三角形
C. 兩個(gè)正方形D. 兩個(gè)長(zhǎng)方形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為圓心的圓過(guò)點(diǎn)A(13,0),直線y=kx﹣3k+4與⊙O交于B、C兩點(diǎn),則弦BC的長(zhǎng)的最小值為( ).
A.22 B.24 C.10 D.12
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