Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝與x軸交于A，C（A在C的左側(cè)），點(diǎn)B在拋物線上，其橫坐標(biāo)為1，連接BC，BO，點(diǎn)F為OB中點(diǎn)．

（1）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)D為拋物線第四象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，CD，點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCD的面積的最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，及|FE﹣DE|的最大值；

（3）如圖2，若點(diǎn)G與點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，直線BG與y軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N是線段BG上的一動(dòng)點(diǎn)，連接NF，MF，當(dāng)∠NFO＝3∠BNF時(shí)，連接CN，將直線BO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)中的直線BO為B′O，直線B′O與直線CN交于點(diǎn)Q，當(dāng)△OCQ為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+；（2）D（，﹣）；|FE﹣DE|的最大值為；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1（，），Q2（，），Q3（﹣，），Q4（+，﹣）．

【解析】

（1）令拋物線y＝0，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再令x＝1，求出點(diǎn)B坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出直線BC的解析式；

（2）三角形面積最值轉(zhuǎn)換成求DH的最大值，然后利用二次函數(shù)的求最值問題解決點(diǎn)D的坐標(biāo)，|FEDE|的最大值，可將點(diǎn)D和點(diǎn)F轉(zhuǎn)換到x軸的同一側(cè)，再利用共線時(shí)差值最大求出線段長度即可．

（3）找等腰三角形問題，要分類討論，以OC為腰，或以OC為底都可以，利用∠OCN的正切值求出邊之間的比例關(guān)系，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

（1）令y＝0，解得x1＝，x2＝，

∴A（，0），B（，0）

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2

∴B（1，2）

設(shè)直線BC的解析式為y＝kxb代入點(diǎn)B和C

，

解得

∴直線BC的解析式為y＝;

（2）設(shè)點(diǎn)D（m，）

過點(diǎn)D作x軸的平行線，交BC于點(diǎn)H，

則點(diǎn)H（m，﹣m+）

HD＝﹣m+﹣（）＝﹣（m﹣）2+

∴當(dāng)m＝時(shí)，HD取最大值，此時(shí)S△BCD的面積取最大值．

D（，）

作D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′

則D′（，）

連接D′H交x軸于一點(diǎn)E，此時(shí)D′E﹣FE最大，即為D′F的長度

∵F為OB的中點(diǎn)

∴F（，）

∴D′F＝

∴|FE﹣DE|的最大值為．

（3）由題意可知M（0，2）

∵∠NFO＝3∠BNF

∴∠FBN＝2∠BNF

作∠FBN的角平分線交x軸于點(diǎn)E

則∠OBE＝∠EBG＝∠OEB＝∠BNF

過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)J

則J（1，0）

∵OB＝＝3

∴OE＝3

∴EJ＝2

∵BJ＝2

∴tan∠BEJ＝，

∴tan∠BNF＝，

過點(diǎn)F作MN的垂線，垂足為D

則FD＝，

∴ND＝1

∴N（，2）

連接NC

∵tan∠NCO＝

①當(dāng)OQ1等于CQ1時(shí)，過點(diǎn)Q1作OC的垂線，垂足為I

∵OC＝

∴CI＝

∴Q1I＝

∴Q1（，）

②當(dāng)OC＝CQ3時(shí)，過點(diǎn)Q3作OC的垂線，垂足為K

∵OC＝，∴CQ3＝，

CK＝，Q3K＝

∴Q3（，）

③當(dāng)OQ2＝OC時(shí)，過點(diǎn)Q2作OC的垂線，垂足為P

∵OC＝3，∴OQ2＝3

設(shè)PC＝a，則Q2P＝a，OP＝﹣a

根據(jù)勾股定理解得a＝

∴Q2（，）

④當(dāng)Q4在NC的延長線上時(shí)，CQ4＝OC

同理可得，Q4（，）

綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1（，），Q2（，），Q3（，），Q4（，，）．