【題目】如圖,拋物線與x軸交于點和A(﹣1,0)和點B(4,0),與y軸交于點C(0,2).
(1)求拋物線解析式;
(2)點P是拋物線BC段上一點,PD⊥BC,PE∥y軸,分別交BC于點D、E.當DE= 時,求點P的坐標;
(3)M是平面內一點,將符合(2)條件下的△PDE繞點M沿逆時針方向旋轉90°后,點P,D,E的對應點分別是P′、D′、E′.設P′E′的中點為N,當拋物線同時經過D′與N時,求出D′的橫坐標.
【答案】
(1)解:設y=a(x+1)(x﹣4),把C(0,2)代入解得a=
∴y=﹣ (x+1)(x﹣4)=﹣ x2+ x+2.
(2)解:如圖1所示:延長PE交x軸與點F.
∵OC=2,OB=4,
∴BC= =2 .
∵PD⊥BC,CO⊥OB,
∴∠COB=∠PDE=90°.
∵∠PDE=∠EFB,∠PED=∠FEB,
∴∠DPE=∠CBO.
∴△PDE∽△BOC.
∴ = ,即 = ,解得PE=2.
設BC的解析式為y=kx+2,將點B的坐標代入得:4k+2=0,解得:k=﹣ .
∴直線BC的解析式為y=﹣ x+2.
設點P的坐標為(x,﹣ x2+ x+2),則E(x,﹣ x+2).
∴﹣ x2+ x+2﹣(﹣ x+2)=2,解得x1=x2=2.
∴點P的坐標為(2,3).
(3)解:旋轉后的圖形如圖2所示:過點D′作D′H⊥P′E′,垂足為H.
∵∠P'D'E'=90°,N是斜邊P'E'的中點,
∴D′B= P′E′=1.
∵ P′D′E′D′= P′E′HD′,
∴D′H= = = .
∴HP′= .
∴HN=P′H﹣P′N= .
設D′(x,﹣ x2+ x+2),則N(x﹣ ,﹣ x2+ x+2+ ),
把N點坐標代入拋物線得﹣ x2+ x+2+ =﹣ (x﹣ )2+ (x﹣ )+2,解得:x= .
∴點D′的橫坐標為 .
【解析】(1)由題意可設此二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)(x﹣4),把C點的坐標代入可求得;
(2)易求出BC的長,再證△PDE∽△BOC,利用對應邊成比例可求得PE的長,利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式,從而設出P、E的坐標,進而求出答案;
(3)根據(jù)題意畫出圖形,再過點D′作D′H⊥P′E′,利用直角三角形的性質可得BD′,由三角形的面積公式可求得HD′,進而求得HN的值,設D′,可得N點的坐標,把N點的坐標代入拋物線可求得x的值,即可得答案.
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的判定與性質,需要了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點A、B、P是同一平面內的三個點,請你借助刻度尺、三角板、量角器完成下列問題:
(1)畫圖:①畫直線AB;
②過點P畫直線AB的垂線交AB于點C;
③畫射線PA;
④取AB中點D,連接PD;
(2)測量:①∠PAB的度數(shù)約為______°(精確到1°);
②點P到直線AB的距離約為______cm(精確到0.1cm).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】本學期開學前夕,蘇州某文具店用4000元購進若干書包,很快售完,接著又用4500元購進第二批書包,已知第二批所購進書包的只數(shù)是第一批所購進書包的只數(shù)的1.5倍,且每只書包的進價比第一批的進價少5元,求第一批書包每只的進價是多少?
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【題目】有下列命題:①兩條直線被第三條直線所截,同位角相等;②0.1的算術平方根是0.01;③算術平方根等于它本身的數(shù)是1;④如果點P(3-2n,1)到兩坐標軸的距離相等,則n=1;⑤若a2=b2,則a=b;⑥若=,則a=b.其中假命題的個數(shù)是( 。
A. 3個B. 4個C. 5個D. 6個
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【題目】【問題提出】如圖①,已知海島A到海岸公路BD的距離為AB,C為公路BD上的酒店,從海島A到酒店C,先乘船到登陸點D,船速為a,再乘汽車,車速為船速的n倍,點D選在何處時,所用時間最短?
【特例分析】若n=2,則時間t= + ,當a為定值時,問題轉化為:在BC上確定一點D,使得AD+ 的值最。鐖D②,過點C做射線CM,使得∠BCM=30°.
(1)過點D作DE⊥CM,垂足為E,試說明:DE= ;
(2)【問題解決】請在圖②中畫出所用時間最短的登陸點D′,并說明理由.
(3)【模型運用】請你仿照“特例分析”中的相關步驟,解決圖①中的問題(寫出具體方案,如相關圖形呈現(xiàn)、圖形中角所滿足的條件、作圖的方法等).
(4)如圖③,海面上一標志A到海岸BC的距離AB=300m,BC=300m.救生員在C點處發(fā)現(xiàn)標志A處有人求救,
立刻前去營救,若救生員在岸上跑的速度都是6m/s,在海中游泳的速度都是2m/s,求救生員從C點出發(fā)到
達A處的最短時間.
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【題目】某商場甲、乙、丙三名業(yè)務員5個月的銷售額(單位:萬元)如下表:
月份 | 第1月 | 第2月 | 第3月 | 第4月 | 第5月 |
甲 | 7.2 | 9.6 | 9.6 | 7.8 | 9.3 |
乙 | 5.8 | 9.7 | 9.8 | 5.8 | 9.9 |
丙 | 4 | 6.2 | 8.5 | 9.9 | 9.9 |
(1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),將下表補充完整:
統(tǒng)計值 | 平均數(shù)(萬元) | 中位數(shù)(萬元) | 眾數(shù)(萬元) |
甲 | 9.3 | 9.6 | |
乙 | 8.2 | 5.8 | |
丙 | 7.7 | 8.5 |
(2)甲、乙、丙三名業(yè)務員都說自己的銷售業(yè)績好,你贊同誰的說法?請說明理由.
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【題目】如圖,直線l過正方形ABCD的頂點B,點A、C至直線l的距離分別為2和3,則此正方形的面積為( )
A. 5 B. 6 C. 9 D. 13
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【題目】王卉同學從家出發(fā)沿筆直的公路去晨練,他離開家的距離y(米)與時間x(分鐘)的函數(shù)關系圖象如圖所示,下列結論正確的個數(shù)是( )
①整個行進過程花了30分鐘;
②整個行進過程共走了1 000米;
③前10分鐘的速度越來越快;
④在途中停下來休息了5分鐘;
⑤返回時速度為100米/分鐘.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,∠A=110°,點E是菱形ABCD內一點,連結CE繞點C順時針旋轉110°,得到線段CF,連結BE,DF,若∠E=86°,求∠F的度數(shù).
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