Question

【題目】【問(wèn)題提出】如圖①，已知海島A到海岸公路BD的距離為AB，C為公路BD上的酒店，從海島A到酒店C，先乘船到登陸點(diǎn)D，船速為a，再乘汽車(chē)，車(chē)速為船速的n倍，點(diǎn)D選在何處時(shí)，所用時(shí)間最短？
【特例分析】若n=2，則時(shí)間t= + ，當(dāng)a為定值時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在BC上確定一點(diǎn)D，使得AD+ 的值最�。�如圖②，過(guò)點(diǎn)C做射線(xiàn)CM，使得∠BCM=30°．

（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CM，垂足為E，試說(shuō)明：DE= ；
（2）【問(wèn)題解決】請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)D′，并說(shuō)明理由．
（3）【模型運(yùn)用】請(qǐng)你仿照“特例分析”中的相關(guān)步驟，解決圖①中的問(wèn)題（寫(xiě)出具體方案，如相關(guān)圖形呈現(xiàn)、圖形中角所滿(mǎn)足的條件、作圖的方法等）．
（4）如圖③，海面上一標(biāo)志A到海岸BC的距離AB=300m，BC=300m．救生員在C點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)標(biāo)志A處有人求救，
立刻前去營(yíng)救，若救生員在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，求救生員從C點(diǎn)出發(fā)到
達(dá)A處的最短時(shí)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖①，

∵DE⊥CM，∴∠DEC=90°，

∴在Rt△BCM中，DE=CDsin30°，

∴DE= ．

（2）解：如圖①過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CM交CB于點(diǎn)D'，則D'點(diǎn)即為所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)．

理由如下：由第（1）問(wèn)可知，D'E'= ．

AD'+ 最短，即為AD'+D'E′最短．

由直線(xiàn)外一點(diǎn)與這條直線(xiàn)上點(diǎn)的所有連線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短．

可知此時(shí)D'點(diǎn)即為所求

（3）解：如圖②，

過(guò)點(diǎn)C做射線(xiàn)CM，使得sin∠BCM= ，

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CM，垂足為E，交CB于點(diǎn)D，則D即為所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)．

（4）解：∵救生員在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，

∴此時(shí)sin∠BCM= ，可得sin∠DAB= ，

∴在Rt△ADB中，AB=300，

AD=225 ，DB=75 ，CD=300﹣75 ．

∴時(shí)間為 + =（50+100 ）s．

【解析】（1）在Rt△BCM中利用三角函數(shù)可求得；
（2）根據(jù)垂線(xiàn)段最短，可作出所用時(shí)間最短的登陸點(diǎn)D′；
（3）由“特例分析”可知n=2，則作∠BCM=30°，再仿照（2）的作法可得；
（4）由救生員在岸上跑的速度和在海中游泳的速度可求出sin∠BCM的值和sin∠DAB的值，在Rt△ADB中求出AD、BD，從而得到CD，從而可求得時(shí)間.