【題目】如圖,正方形ABCD內(nèi)有一點P,若PA=1,PB=2,PC=3.
(1)畫出△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△CBE;
(2)求∠APB度數(shù);
(3)求正方形ABCD的面積.
【答案】(1)畫圖見解析;(2)∠APB=135°;(3)正方形ABCD的面積為5+2.
【解析】
(1)作∠QBC=∠ABP,BP=BQ=2,連接QC即可得出△BCQ;
(2)先由△BPQ是等腰直角三角形求出∠BQP的度數(shù),再證明∠PQC=90°,即可得出∠BQC的度數(shù),進而得出結(jié)論;
(3)如圖,作CH⊥BQ交BQ的延長線于H.求出BH,CH,利用勾股定理即可解決問題.
(1)作∠QBC=∠ABP,BP=BQ=2,連接QC即可得出△BCQ;
(2)連接PQ,
在Rt△PBQ中∵BP=BQ=2,
∴PQ2=BP2+BQ2=22+22=8,
在△PCQ中,
∵PC=3,QC=AP=1,
∴PC2=PQ2+QC2,
∴△PCQ是直角三角形,∠PQC=90°,
∵BP=BQ=2,∠PBQ=90°,
∴△PBQ是等腰直角三角形,
∴∠BQP=45°,
∵∠PQC=90°,
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=45°+90°=135°,
∵△BQC由△BPA旋轉(zhuǎn)而成,
∴∠APB=∠BQC=135°.
(3)如圖,作CH⊥BQ交BQ的延長線于H,
∵∠BQC=135°,
∴∠CQH=∠QCH=45°,
∴CH=QH,∵CQ=QP=1,
∴CH=QH=,
∴BH=BQ+QH=2+,
在Rt△BCH中,BC===,
∴正方形ABCD的面積為5+2.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠BCD是鈍角,AB=AD,BD平分∠ABC.若CD=3,BD=2,sin∠DBC=,求對角線AC的長.
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【題目】已知:如圖,矩形ABCD中,點E、F分別在DC,AB邊上,且點A、F、C在以點E為圓心,EC為半徑的圓上,連接CF,作EG⊥CF于G,交AC于H.已知AB=6,設(shè)BC=x,AF=y(tǒng).
(1)求證:∠CAB=∠CEG;
(2)①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式. ②x= 時,點F是AB的中點;
(3)當x為何值時,點F是的中點,以A、E、C、F為頂點的四邊形是何種特殊四邊形?試說明理由.
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【題目】如圖,在等邊中,,射線,點從點出發(fā)沿射線以的速度運動,同時點從點出發(fā)沿射線以的速度運動,設(shè)點運動的時間為.
(1)當點在線段上運動時,_________,當點在線段的延長線上運動時,_________(請用含的式子表示);
(2)在整個運動過程中,當以點,,,為頂點的四邊形是平行四邊形時,求的值;
(3)求當_________時,,兩點間的距離最小.
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【題目】(1)解方程x2﹣4x=12;
(2)如圖,△ABP是由△ACE繞A點旋轉(zhuǎn)得到的,若∠APB=110°,∠B=30°,∠PAC=20°,求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).
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【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,過點O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4,△AOE的面積為5,則sin∠BOE的值為( )
A. B. C. D.
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【題目】方格紙中每個小正方形的邊長都是單位1,△OAB在平面直角坐標系中的位置如圖所示.解答問題:
(1)請按要求對△ABO作如下變換:
①將△OAB向下平移2個單位,再向左平移3個單位得到△O1A1B1;
②以點O為位似中心,位似比為2:1,將△ABC在位似中心的異側(cè)進行放大得到△OA2B2.
(2)寫出點A1,A2的坐標: , ;
(3)△OA2B2的面積為 .
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【題目】如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,延長CB至點F,使CF=CA,連接AF,∠ACF的平分線分別交AF,AB,BD于點E,N,M,連接EO.
(1)已知EO=,求正方形ABCD的邊長;
(2)猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明.
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