【題目】如圖,正方形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,延長CB至點(diǎn)F,使CF=CA,連接AF,∠ACF的平分線分別交AF,AB,BD于點(diǎn)E,N,M,連接EO.

(1)已知EO=,求正方形ABCD的邊長;

(2)猜想線段EMCN的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

【答案】(1)正方形ABCD的邊長為2;(2)EM=CN,證明詳見解析.

【解析】

(1)根據(jù)等腰三角形和正方形的性質(zhì)求得AC的長度,再在直角三角形ABC利用三角函數(shù)求得AB的長度,即正方形ABCD的邊長。

(2)先證明EMO,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得.

(1)由題意可知ACF為等腰三角形,CE為∠ACF的角平分線,所以由等腰三角形的性質(zhì)可知,

CE為線段AF的垂直平分線,EAF的中點(diǎn),

又因?yàn)辄c(diǎn)OAC的中點(diǎn),

所以EOAFC的中位線,

所以OE//CF,且.

因此ACCF=2OE=2.

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為正方形,

所以∠ACB=45°.

RTABC中,ABAC·sin45°=2=2.

故正方形ABCD的邊長為2.

(2),

證明如下:因?yàn)?/span>OCAC,所以EOOC,

所以∠OEMCAN.

根據(jù)正方形的性質(zhì),得∠NACOBC=45°,

因?yàn)?/span>OE//CF,

所以∠MOEOBC

所以∠MOENAC=45°,

所以EMO∽△CNA,

.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,若PA=1,PB=2,PC=3.

(1)畫出△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△CBE;

(2)∠APB度數(shù);

(3)求正方形ABCD的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,已知AB=AC=4 cm,BC=6 cm,D是BC的中點(diǎn),以點(diǎn)D為圓心作一個(gè)半徑為3 cm的圓,則下列說法正確的是(  )

A. 點(diǎn)A在⊙D外 B. 點(diǎn)B在⊙D內(nèi) C. 點(diǎn)C在⊙D上 D. 無法確定

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知在中,,,點(diǎn)上,且

當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn),點(diǎn)分別在線段、上時(shí)(如圖).過點(diǎn)于點(diǎn),請?zhí)剿?/span>之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

當(dāng),

①點(diǎn)、分別在線段、上,如圖時(shí),請寫出線段、之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

②當(dāng)點(diǎn)、分別在線段、的延長線上,如圖時(shí),請判斷①中線段、之間的數(shù)量關(guān)系是否還存在.(直接寫出答案,不用證明)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形,ABC的頂

點(diǎn)都在格點(diǎn)上,建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)C的坐標(biāo)為

(2)ABC向左平移7個(gè)單位,請畫出平移后的A1B1C1.若MABC內(nèi)的一點(diǎn),其坐標(biāo)為(a,b),則平移后點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)M1的坐標(biāo)為

(3)以原點(diǎn)O為位似中心,將ABC縮小,使變換后得到的A2B2C2ABC對應(yīng)邊的比為12.請?jiān)诰W(wǎng)格內(nèi)畫出A2B2C2,并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo):

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在正方形ABCD中,AD=2,E是AB的中點(diǎn),將△BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)E落在CB的延長線上點(diǎn)F處,點(diǎn)C落在點(diǎn)A處.再將線段AF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG,連結(jié)EF、CG.

(1)求證:EFCG;

(2)求點(diǎn)C、點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的、與線段CG所圍成的陰影部分的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】對于下列結(jié)論:①二次函數(shù)y=6x2,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大;②關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=﹣2,x2=1(a、m、b均為常數(shù),a≠0),則方程a(x+m+2)2+b=0的解是x1=﹣4,x2=﹣1;③設(shè)二次函數(shù)y=x2+bx+c,當(dāng)x≤1時(shí),總有y≥0,當(dāng)1≤x≤3時(shí),總有y≤0,那么c的取值范圍是c≥3.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。

A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx-8x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為D,與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E,連接CE,已知點(diǎn)A,D的坐標(biāo)分別為(-2,0),(6,-8).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式,并分別求出點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)Py軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)其坐標(biāo)為(0,m),直線PB與直線l交于點(diǎn)Q,試探究:當(dāng)m為何值時(shí),△OPQ是等腰三角形.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,梯形ABCD中,AB∥CD∠ABC=90°,AB=8CD=6,BC=4,AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P(不與A、B重合),連結(jié)DP,作PQ⊥DP,使得PQ交射線BC于點(diǎn)E,設(shè)AP=x

當(dāng)x為何值時(shí),△APD是等腰三角形?

若設(shè)BE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

BC的長可以變化,在現(xiàn)在的條件下,是否存在點(diǎn)P,使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C?若存在,求出相應(yīng)的AP的長;若不存在,請說明理由,并直接寫出當(dāng)BC的長在什么范圍內(nèi)時(shí),可以存在這樣的點(diǎn)P,使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C

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