【題目】已知:如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在DC,AB邊上,且點(diǎn)A、F、C在以點(diǎn)E為圓心,EC為半徑的圓上,連接CF,作EG⊥CFG,交ACH.已知AB=6,設(shè)BC=x,AF=y(tǒng).

(1)求證:∠CAB=∠CEG;

(2)①yx之間的函數(shù)關(guān)系式. ②x=   時(shí),點(diǎn)FAB的中點(diǎn);

(3)當(dāng)x為何值時(shí),點(diǎn)F的中點(diǎn),以A、E、C、F為頂點(diǎn)的四邊形是何種特殊四邊形?試說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①y=﹣x2+6②3(3)2

【解析】

(1)連接EF,由于EG經(jīng)過(guò)圓心E,且與弦CF垂直,由垂徑定理知∠CEF=2CEG,而圓周角∠CAF和圓心角∠CEG所對(duì)的弧正好相同,由圓周角定理知∠CEG=2CAF,由此得證;

(2)①設(shè)⊙O的半徑為r,連接EA、EF;由于EA=EF,那么E點(diǎn)在AF的垂直平分線上,因此AF=2DE,即y=2(6﹣r),所以只需求出r、x的關(guān)系式即可;RtADE中,AD=x,用r可表示出AE、DE的長(zhǎng),即可由勾股定理求得r、x的關(guān)系式,由此得解;②當(dāng)FAB中點(diǎn)時(shí),AF=y(tǒng)=3,將其代入①的函數(shù)關(guān)系式中,即可求得x的值;

(3)當(dāng)F是弧AC的中點(diǎn)時(shí),EF垂直平分AC,可得AE=EC,AF=FC;易知∠AEF=CEF,而∠CEF和∠AFE是平行線的內(nèi)錯(cuò)角,等量代換后可得∠AEF=AFE=FAE,由此可證得EAF是正三角形,由此可證得四邊形AECF的四邊都相等,即四邊形AECF是菱形;此時(shí)∠CFB=EAF=60°,在RtCFB中,易知BF=CF,而AF=FC,那么BF即為AF的一半、AB的三分之一,由此可求得BF的長(zhǎng),進(jìn)而可得到BC(即x)的長(zhǎng).

(1)連接EF(如圖1),

∵點(diǎn)A、F、C在以點(diǎn)E為圓心,EC為半徑的圓上,

EF=EC,

EGCF,

∴∠CEF=2CEG,

∵∠CEF=2CAB,∴∠CAB=CEG;

(2)(如圖2)①連接EF、EA,

設(shè)⊙E的半徑為r,

RtADE中,EA=r,DE=6﹣r,AD=x,

x2+(6﹣r)2=r2,r=x2+3,

EF=EA,

AF=2DE,

y=2(6﹣r)=﹣x2+6;

②點(diǎn)FAB的中點(diǎn)時(shí),y=3,即﹣x2+6=3,

x=;

(3)(如圖3)

當(dāng)x=時(shí),F是弧AC的中點(diǎn).此時(shí)四邊形AECF菱形;

理由如下:

∵點(diǎn)F是弧AC的中點(diǎn),

∴∠AEF=CEF,AF=CF,

ABCD,

∴∠AFE=CEF,

∴∠AEF=AFE,

AE=AF,

AE=EF,

AE=AF=CE=CF,

∴△AEFCEF都是正三角形,

∴四邊形AECF是菱形,且∠CEF=60°,

∴∠BCF=30°,BF=CF=AF=AB=2,BC=

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】201612月底我國(guó)首艘航空母艦遼寧艦與數(shù)艘去驅(qū)航艦組成編隊(duì),攜多架殲﹣15艦載戰(zhàn)斗機(jī)和多型艦載直升機(jī)開展跨海區(qū)訓(xùn)練和試驗(yàn)任務(wù),在某次演習(xí)中,預(yù)警直升機(jī)A發(fā)現(xiàn)在其北偏東60°,距離160千米處有一可疑目標(biāo)B,預(yù)警直升機(jī)立即向位于南偏西30°距離40千米處的航母C報(bào)告,航母艦載戰(zhàn)斗機(jī)立即升空沿北偏東53°方向向可疑目標(biāo)飛去,請(qǐng)求出艦載戰(zhàn)斗機(jī)到達(dá)目標(biāo)的航程BC.

(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.3, ≈1.73)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,把一張矩形的紙ABCD沿對(duì)角線BD折疊,使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,BEAD交于點(diǎn)F

⑴求證:ΔABFΔEDF;

⑵若將折疊的圖形恢復(fù)原狀,點(diǎn)FBC邊上的點(diǎn)M正好重合,連接DM,試判斷四邊形BMDF的形狀,并說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,BDABC外接圓⊙O的直徑,且∠BAE=C.

(1)求證:AE與⊙O相切于點(diǎn)A;

(2)若AEBC,BC=2,AC=2,求AD的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,ABC的位置如圖所示(每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形).

(1)若ABCA1B1C1關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱圖形,畫出A1B1C1;

(2)將ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后得到的AB2C2;

(3)在x軸上存在一點(diǎn)P,滿足點(diǎn)P到點(diǎn)B1與點(diǎn)C1距離之和最小,請(qǐng)直接寫出P B1+ P C1的最小值為__________.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD,AC、BD相交于點(diǎn)O,∠BCD=60°,則下列4個(gè)結(jié)論:梯形ABCD是軸對(duì)稱圖形;②BC=2AD;③梯形ABCD是中心對(duì)稱圖形;④AC平分∠DCB,其中正確的是_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,若PA=1,PB=2,PC=3.

(1)畫出△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△CBE;

(2)∠APB度數(shù);

(3)求正方形ABCD的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在直角體系中,直線AB交x軸于點(diǎn)A(5,0),交y軸于點(diǎn)B,AO是M的直徑,其半圓交AB于點(diǎn)C,且AC=3。取BO的中點(diǎn)D,連接CD、MD和OC。

(1)求證:CD是M的切線;

(2)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、M、A,其對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,連接PD、PM,求PDM的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下,當(dāng)PDM的周長(zhǎng)最小時(shí),拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知在中,,,點(diǎn)上,且

當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn),點(diǎn)、分別在線段、上時(shí)(如圖).過(guò)點(diǎn)于點(diǎn),請(qǐng)?zhí)剿?/span>之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;

當(dāng),

①點(diǎn)、分別在線段、上,如圖時(shí),請(qǐng)寫出線段、之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

②當(dāng)點(diǎn)、分別在線段、的延長(zhǎng)線上,如圖時(shí),請(qǐng)判斷①中線段之間的數(shù)量關(guān)系是否還存在.(直接寫出答案,不用證明)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案