Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，過點B（6，0）的直線AB與直線OA相交于點A（4，2）．

（1）求直線AB的函數表達式；

（2）若在y軸上存在一點M，使MA+MB的值最小，請求出點M的坐標；

（3）在x軸上是否存在點N，使△AON是等腰三角形？如果存在，直接寫出點N的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+6；（2）M（0，）；（3）存在點N坐標為：（﹣2，0）或（2，0）或（8，0）或（，0），理由見解析

【解析】

（1）設直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（4，2），B（6，0）代入即可求解；

（2）點B（6，0）關于y軸的對稱點B'，∴B'（﹣6，0），連接AB'交y軸于M，此時MA+MB最小，即可求解；

（3）分AO＝AN、AO＝ON、AN＝ON三種情況，分別求解即可．

：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（4，2），B（6，0）代入得： ，解得： ，
∴直線AB的表達式為y=-x+6；
（2）作點B（6，0）關于y軸的對稱點B'，
∴B'（-6，0），

連接AB'交y軸于M，此時MA+MB最小，
設直線AB'的解析式為y=mx+n，
將A（4，2），B'（-6，0）代入得： ，解得： ，
∴直線AB'的解析式為：y= ，
當x=0時，y=，∴M（0，）；
（3）存在，理由：
設：點N（m，0），點A（4，2），點O（0，0），
則AO2=20，AN2=（m-4）2+4，ON2=m2，
①當AO=AN時，20=（m-4）2+4，
解得：m=8或0（舍去0）；
②當AO=ON時，同理可得：m=±2 ；
③當AN=ON時，同理可得：m=；
故符合條件的點N坐標為：（-2，0）或（2，0）或（8，0）或（，0）．