Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊BC在x軸上，頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，試問(wèn)：在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若拋物線對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)P，在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)Q，使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形？若存在，寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，選擇一種情況加以說(shuō)明；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）（0，﹣2），（，2），（﹣，2），（﹣2.5，2）（3）（， ）

【解析】試題分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a、b、c的方程，從而可求得a、b、c的值；

（2）分為AB為菱形的邊和AB為菱形的對(duì)角共可畫(huà)出4種不同的圖形，然后依據(jù)菱形對(duì)邊平行，對(duì)角線互相平分的性質(zhì)確定出點(diǎn)N的坐標(biāo)即可；

（3）如圖5所示：分別以點(diǎn)A和點(diǎn)P為直角的頂點(diǎn)作出等腰直角△APQ，然后由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)Q1作Q1M⊥x軸，垂足為M．

然后證明△AOP≌△PMQ1，由全等三角形的性質(zhì)可求得Q1M=OP=，PM=OA=2，于是可求得點(diǎn)Q1的坐標(biāo)．

試題解析：（1）由題意可知；A（0，2）、B（﹣1，0）、C（4，0）．

設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c．則，解得：

所以拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2．

（2）如圖1所示：

∵四邊形ABNM為菱形，

∴OA=ON．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，﹣2）．

如圖2所示：

由勾股定理可知：AB=．

∵四邊形ABMN為菱形，

∴NA∥BM，AN=AB，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣，2）．

如圖3所示；

∵四邊形ABMN為菱形，

∴NA∥BM，AN=AB．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，2）．

如圖4所示：

∵四邊形ABMN為菱形，

∴NA∥BM，AN=NB．

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，2）．由兩點(diǎn)間的距離公式可知：（x+1）2+22=x2．

解得：x=﹣2.5．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2.5，2）．

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，﹣2），（，2），（﹣，2），（﹣2.5，2）．

（3）如圖5所示：

使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形的所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1（， ），Q2（﹣，﹣），Q3（2， ），Q4（﹣2， ）．

說(shuō)明Q1：過(guò)點(diǎn)Q1作Q1M⊥x軸，垂足為M．

∵x=﹣，

∴P（，0）．

∴OP=．

由題意得；∠APQ1=90°，PA=PQ1．

∴∠OPA+∠CPQ1=90°．

∵∠APO+∠OAP=90°，

∴∠OAP=∠MPQ1．

在△AOP和△PMQ1中，

，

∴△AOP≌△PMQ1．

∴Q1M=0P=，PM=OA=2

∴OM=OP+PM=+2=．

∴點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為（， ）．