Question

【題目】已知，，分別在直線上，是平面內一點，和的平分線所在直線相交于點.

（1）如圖1，當都在直線之間，且時，的度數為_________；

（2）如圖2，當都在直線上方時，探究和之間的數量關系，并證明你的結論；

（3）如圖3，當在直線兩側時，直接寫出和之間的數量關系是_____.

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）過E作EH∥AB，FG∥AB，根據平行線的性質得到∠BME=∠MEH，∠DNE=∠NEH，根據角平分線的定義得到∠BMF+∠DNF=（∠BME+∠DNE）=45°，于是得到結論；（2）根據三角形的外角的性質得到∠E=∠EGB-∠EMB，根據平行線的性質得到∠EGB=∠END，∠FHB=∠FND，根據角平分線的定義得到∠EMB=2∠FMB，∠END=2∠FND，于是得到結論；（3）根據平行線的性質得到∠5=∠END，根據角平分線的定義得到∠5=∠END=2∠4，∠BME=2∠1=∠E+∠5=∠E+2∠4，根據三角形的外角的性質和四邊形的內角和即可得到結論．

解：（1）過E作EH∥AB，過點F作FG∥AB，

∵AB∥CD，
∴EH∥CD，FG∥CD，
∴∠BME=∠MEH，∠DNE=∠NEH，
∴∠BME+∠DNE=∠MEH+∠NEH=∠MEN=90°，
同理∠MFN=∠BMF+∠DNF，
∵MF平分∠BME，FN平分∠DNE，
∴∠BMF+∠DNF=（∠BME+∠DNE）=45°，
∴∠MFN的度數為45°；
故答案為：45°；
（2）∵∠EGB=∠EMB+∠E，
∴∠E=∠EGB-∠EMB，
∵AB∥CD，
∴∠EGB=∠END，∠FHB=∠FND，
∴∠E=∠END-∠EMB，
∵MF、NF分別平分∠BME和∠DNE，
∴∠EMB=2∠FMB，∠END=2∠FND，
∴∠E=2∠FND-2∠FMB=2（∠FND-∠FMB），
∵∠FHB=∠FMB+∠F，
∴∠F=∠FHB-∠FMB，
=∠FND-∠FMB，
∴∠E=2∠F；
（3）∠E+∠MFN=180°，

證明：∵AB∥CD，
∴∠5=∠END，
∵NF平分∠END，
∴∠5=∠END=2∠4，
∵MF平分∠BME，
∴∠BME=2∠1=∠E+∠5=∠E+2∠4，
∴∠3=∠1=∠E+∠4，
∵∠E+∠MFN=360°-∠4-∠2-∠3=360°-∠4-（180°-∠E-2∠4）-（∠E+∠4）=180°+∠E，
∴∠MFN+∠E=180°．
故答案為：∠E+∠MFN=180°．