Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=5，AB邊上的高CD=4，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，交邊AC或邊BC于點(diǎn)Q，以PQ為邊向右側(cè)作正方形PQMN．設(shè)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）直接寫出tanB的值為 ．
（2）求點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)t的值．
（3）當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分為四邊形時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）邊BC將正方形PQMN的面積分為1：3兩部分時(shí)，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：當(dāng)點(diǎn)M落在BC邊上時(shí)，如圖1，

由題意得：AP=3t，

tan∠CAB= ，

∴PQ=PN=MN=4t，BN=2t，

∴3t+4t+2t=5，

t=

（3）解：分三種情況：

①當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，如圖1，正方形PQMN與△ABC重疊部分是正方形PQMN，

∴S=PQ2=（4t）2=16t2；

②當(dāng)N與B重合時(shí)，如圖2，

AP=3t，PQ=PB=4t，

∴3t+4t=5，

t= ，

當(dāng) ＜t＜ 時(shí)，如圖3，正方形PQMN與△ABC重疊部分是五邊形EQPNF，

③當(dāng) ≤t＜1時(shí)，如圖4，正方形PQMN與△ABC重疊部分是梯形EQPB，

∴AP=3t，PN=4t，

∴BN=7t﹣5，PB=4t﹣（7t﹣5）=﹣3t+5，

在Rt△APQ中，AQ=5t，

∴QC=5﹣5t，

∵AC=AB，

∴∠ACB=∠ABC，

∵QE∥AB，

∴∠QEC=∠ABC，

∴∠QEC=∠ACB，

∴QE=QC=5﹣5t，

∴S=S梯形QPBE= （QE+PB）×PQ，

= （5﹣5t+5﹣3t）×4t=﹣16t2+20t；

綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：

S=

（4）解：如圖2，當(dāng)t= 時(shí)，CQ=QG=5﹣5t= ，

∴GM=4t﹣ = ，

∴QG=GM，

∴S△QGB=S△GMB，

∴S梯形GQPB：S△GMB=3：1，

當(dāng)P與D重合時(shí)，t=1，如圖5，

則S△CDB：S四邊形CBNM= ×2×4：（42﹣ ×2×4），

=1：3，

綜上所述，t= s或1s時(shí)，邊BC將正方形PQMN的面積分為1：3兩部分

【解析】解：（1）∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

∵在Rt△ACD中，AD= =3，

∴BD=AB﹣AD=5﹣3=2，

∴在Rt△BCD中，tan∠B= = =2；

所以答案是2．

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形即可以解答此題．