Question

【題目】（一）如圖（1），已知圓，點、在圓上，且為等邊三角形，點為直線與圓的一個交點.連接，，證明：

（方法遷移）

（二）如圖（2），用直尺和圓規(guī)在矩形內(nèi)作出所有的點，使得（不寫作法，保留作圖痕跡）.

（深入探究）

（三）已知矩形，，，為邊上的點，若滿足的點P恰有兩個，求的取值范圍.

（四）已知矩形，，，為矩形內(nèi)一點，且，若點繞點逆時針旋轉到點，求的最小值，并求此時的面積.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；

（2）見詳解 ；

（3）2≤m<2+.

（4）的最小值為-2.，并求此時的面積是.

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理即可證明；

（2）根據(jù)圓周角定理可知點∠BPC所對弧所對的圓心角等于90°，所以作出一個90°的圓心角即可；

（3）由點P要在AD上，且有兩個，故AD應與圓O相交，且要在EF的上方，從而先算出臨界值，則m在它們之間.

（4）先確定出當A,P,O在同一直線上時，AP取得最小值，從而得出此時PQ取得最小值，畫出圖形，利用勾股定理求解即可.利用相似三角形的性質(zhì)和判定求出的高，再利用三角形的面積計算公式計算即可.

證明：（1）如圖1所示，連接AP,BP.

∵為等邊三角形，

∴∠AOB=60°.

∵∠APB=∠AOB,

∴∠APB=30°.

解：（2）如圖2所示：點P在上即可.

（3）由（2）得，要使的點P恰有兩個，則AD與相交，如圖3所示，

①當AD與⊙O相切時，連接OP，并延長PO與BC相交于Q，

∵AD與⊙O相切，

∴∠APQ=90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ABQ=90°.

∴∠A=∠ABQ=∠APQ=90°.

∴四邊形ABQP為矩形，

∴PQ=AB=m.

∵△BOC是等腰直角三角形，

∴OQ=BC=，OB=2.

∴PQ=2+.

∴m<2+.

②當AD與EF重合時，

m=BE=BC=2

綜上所述，m的取值范圍為：2≤m<2+.

（4）如圖4所示：

依題意可知，當A,P,O在同一直線上時，AP有最小值，此時PQ最小.

過點O作OH⊥BC于H，作OG⊥AB于G，過點P作PM⊥AB于M，連接OP，OB.

∵∠GBH=90°，

∴四邊形BGOH為矩形，

∴OG=BH=BC=.

∵∠BPC=120°，

∴∠BOC=120°，

∵OB=OC,

∴∠OBH=30°.

∴設OH=x，則OB=2x.

在Rt△OBH中

OB2-OH2=BH2,

即4x2-x2=()2,

解得：x=1.

∴OH=1,OB=2.

∵AB=3,

∴AG=4.

在Rt△AGO中

OA==

∴AP=-2.

根據(jù)旋轉的性質(zhì)可知，AQ=AP=-2，∠PAQ=90°，

根據(jù)勾股定理可求得：PQ==AP=-2.

∵OG⊥AB，PM⊥AB

∴PM∥OG,

∴=

∵OG=,AP=-2,OA=

∴PM=.

∴的面積=ABPM=3=.

答：的最小值為-2.，并求此時的面積是.