Question

【題目】如圖，直線AB和拋物線的交點(diǎn)是A(0，-3)，B(5，9)，已知拋物線的頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是2.

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)在軸上是否存在一點(diǎn)C，與A，B組成等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)在直線AB的下方拋物線上找一點(diǎn)P，連接PA，PB使得△PAB的面積最大，并求出這個(gè)最大值.

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)D（2，）；（2）C（，0）或（，0）或（，0）；（3）

【解析】

（1）拋物線的頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是2，則x2，拋物線過A（0，﹣3），則：函數(shù)的表達(dá)式為：y=ax2+bx﹣3，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

（2）分AB=AC、AB=BC、AC=BC，三種情況求解即可；

（3）由S△PABPHxB，即可求解．

（1）拋物線的頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是2，則x2①，拋物線過A（0，﹣3），則：函數(shù)的表達(dá)式為：y=ax2+bx﹣3，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得：9=25a+5b﹣3②，聯(lián)立①、②解得：a，b，c=﹣3，∴拋物線的解析式為：yx2x﹣3．

當(dāng)x=2時(shí)，y，即頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，）；

（2）A（0，﹣3），B（5，9），則AB=13，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)（m，0），分三種情況討論：

①當(dāng)AB=AC時(shí)，則：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±4，即點(diǎn)C坐標(biāo)為：（4，0）或（﹣4，0）；

②當(dāng)AB=BC時(shí)，則：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5，即：點(diǎn)C坐標(biāo)為（5，0）或（5﹣2，0）；

③當(dāng)AC=BC時(shí)，則：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（，0）．

綜上所述：存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（±4，0）或（5，0）或（，0）；

（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)H．設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx﹣3，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式，9=5k﹣3，則k，故函數(shù)的表達(dá)式為：yx﹣3，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，m2m﹣3），則點(diǎn)H坐標(biāo)為（m，m﹣3），S△PABPHxB（m2+12m）=－6m2+30m=，當(dāng)m=時(shí)，S△PAB取得最大值為：．

答：△PAB的面積最大值為．