【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,D是BC中點,F是AC中點,AN是△ABC的外角∠MAC的角平分線,延長DF交AN于點E,連接CE.
(1)求證:四邊形ADCE是矩形;
(2)填空:①若BC=AB=4,則四邊形ABDE的面積為 .
②當(dāng)△ABC滿足 時,四邊形ADCE是正方形.
【答案】(1)見解析;(2)①4,②∠BAC=90°
【解析】
(1)利用角平分線、等邊對等角和外角可先證出∠MAE=∠B,所以AN∥BC,利用F是AC的中點可證△AFE≌△CFD,即可得到EF=FD,利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形所以四邊形ADCE為平行四邊形,再利用AB=AC,點D為BC中點,可以得到AD⊥BC,
有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得:四邊形ADCE為矩形;
(2)由D、F分別是BC、AC的中點,利用中位線的性質(zhì)可得:DF∥AB,易證四邊形ABDE是平行四邊形,利用BC=AB=4,AB=AC,可得△ABC是等邊三角形,最后利用銳角三角函數(shù)求出高AD即可.
(3)可根據(jù)四邊形ADCE是矩形,若再有一組鄰邊相等即為正方形不防使AD=DC,此時不難發(fā)現(xiàn)△ADC為等腰直角三角形,故∠ACB=45°,再根據(jù)△ABC為等腰三角形,即可得到∠BAC=90°.
證明:∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線,
∴∠MAE=∠MAC,
∵∠MAC=∠B+∠ACB,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠MAE=∠B,
∴AN∥BC,
∴∠EAF=∠DCF
在△AFE和△CFD中
∴△AFE≌△CFD
∴EF=FD
∴四邊形ADCE為平行四邊形
∵AB=AC,點D為BC中點,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴四邊形ADCE為矩形;
(2)①解:∵AB=AC,D是BC中點,F是AC中點,
∴DF∥AB,
由(1)知AE∥BD,
∴四邊形ABDE是平行四邊形,
∵BC=AB=4,AB=AC,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ABD=60°,
∵D為BC的中點,
∴∠ADC=90°,BD=2,
∴,
∴四邊形ABDE的面積為BD×AD=2×=4,
故答案為:4;
②解:答案不唯一,如當(dāng)∠BAC=90°時,四邊形ADCE是正方形.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴△ABC為等腰直角三角形,
∵D為BC的中點,
∴AD=DC,
∵四邊形ADCE為矩形,
∴四邊形ADCE為正方形.
故答案為:∠BAC=90°.
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【題目】如圖,在等邊△ABC中,D是邊AC上一點,連接BD,將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BAE,連接ED,若BC=10,BD=9,則△ADE的周長為( )
A. 19B. 20C. 27D. 30
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【題目】(一)如圖(1),已知圓,點、在圓上,且為等邊三角形,點為直線與圓的一個交點.連接,,證明:
(方法遷移)
(二)如圖(2),用直尺和圓規(guī)在矩形內(nèi)作出所有的點,使得(不寫作法,保留作圖痕跡).
(深入探究)
(三)已知矩形,,,為邊上的點,若滿足的點P恰有兩個,求的取值范圍.
(四)已知矩形,,,為矩形內(nèi)一點,且,若點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到點,求的最小值,并求此時的面積.
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【題目】有座拋物線形拱橋(如圖),正常水位時橋下河面寬,河面距拱頂,為了保證過往船只順利航行,橋下水面的寬度不得小于.
(1)求出如圖所示坐標(biāo)系中的拋物線的解析式;
(2)求水面在正常水位基礎(chǔ)上上漲多少米時,就會影響過往船只航行?
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【題目】為慶祝新中國成立70周年,河南省實驗中學(xué)開展了以“我和我親愛的祖國”為主題的“快閃”活動,九年級準(zhǔn)備從兩名男生和兩名女生中選出兩名同學(xué)領(lǐng)唱,如果每一位同學(xué)被選中的機(jī)會均等,則選出的恰為一位男生一位女生的概率是_____.
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【題目】如圖1,已知矩形AOCB,AB=6cm,BC=16cm,動點P從點A出發(fā),以3cm/s的速度向點O運(yùn)動,直到點O為止;動點Q同時從點C出發(fā),以2cm/s的速度向點B運(yùn)動,與點P同時結(jié)束運(yùn)動.
(1)當(dāng)運(yùn)動時間為2s時,P、Q兩點的距離為 cm;
(2)請你計算出發(fā)多久時,點P和點Q之間的距離是10cm;
(3)如圖2,以點O為坐標(biāo)原點,OC所在直線為x軸,OA所在直線為y軸,1cm長為單位長度建立平面直角坐標(biāo)系,連結(jié)AC,與PQ相交于點D,若雙曲線過點D,問k的值是否會變化?若會變化,說明理由;若不會變化,請求出k的值.
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【題目】已知,如圖1,二次函數(shù)y=ax2+2ax﹣3a(a≠0)圖象的頂點為C與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側(cè)),點C、B關(guān)于過點A的直線l:y=kx+對稱.
(1)求A、B兩點坐標(biāo)及直線l的解析式;
(2)求二次函數(shù)解析式;
(3)如圖2,過點B作直線BD∥AC交直線l于D點,M、N分別為直線AC和直線l上的兩個動點,連接CN,MM、MD,求CN+NM+MD的最小值.
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【題目】如圖所示△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B的平分線交于D點,DE⊥BC于點E,DF⊥AC于點F.
(1)求證:四邊形CEDF為正方形;
(2)若AC=6,BC=8,求CE的長.
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