【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點D,BC=10cm,AD=8cm.點P從點B出發(fā),在線段BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動,與此同時,垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā),以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,分別交AB、AC、AD于E、F、H,當(dāng)點P到達點C時,點P與直線m同時停止運動,設(shè)運動時間為t秒(t>0).
(1)當(dāng)t=2時,連接DE、DF,求證:四邊形AEDF為菱形;
(2)在整個運動過程中,所形成的△PEF的面積存在最大值,當(dāng)△PEF的面積最大時,求線段BP的長;
(3)是否存在某一時刻t,使△PEF為直角三角形?若存在,請求出此時刻t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
證明:當(dāng)t=2時,DH=AH=4,則H為AD的中點,如答圖1所示.
又∵EF⊥AD,
∴EF為AD的垂直平分線,
∴AE=DE,AF=DF.
∵AB=AC,AD⊥BC于點D,
∴AD⊥BC,∠B=∠C.
∴EF∥BC,
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴AE=AF=DE=DF,即四邊形AEDF為菱形.
(2)
解:如答圖2所示,
由(1)知EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴ ,即 ,解得:EF=10﹣ t.
S△PEF= EFDH= (10﹣ t)2t=﹣ t2+10t=﹣ (t﹣2)2+10(0<t< ),
∴當(dāng)t=2秒時,S△PEF存在最大值,最大值為10cm2,此時BP=3t=6cm
(3)
解:存在.理由如下:
①若點E為直角頂點,如答圖3①所示,
此時PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.
∵PE∥AD,∴ ,即 ,此比例式不成立,故此種情形不存在;
②若點F為直角頂點,如答圖3②所示,
此時PF∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10﹣3t.
∵PF∥AD,∴ ,即 ,解得t= ;
③若點P為直角頂點,如答圖3③所示.
過點E作EM⊥BC于點M,過點F作FN⊥BC于點N,則EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.
∵EM∥AD,∴ ,即 ,解得BM= t,
∴PM=BP﹣BM=3t﹣ t= t.
在Rt△EMP中,由勾股定理得:PE2=EM2+PM2=(2t)2+( t)2= t2.
∵FN∥AD,∴ ,即 ,解得CN= t,
∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣ t=10﹣ t.
在Rt△FNP中,由勾股定理得:PF2=FN2+PN2=(2t)2+(10﹣ t)2= t2﹣85t+100.
在Rt△PEF中,由勾股定理得:EF2=PE2+PF2,
即:(10﹣ t)2=( t2)+( t2﹣85t+100)
化簡得: t2﹣35t=0,
解得:t= 或t=0(舍去)
∴t= .
綜上所述,當(dāng)t= 秒或t= 秒時,△PEF為直角三角形
【解析】(1)如答圖1所示,利用菱形的定義證明;(2)如答圖2所示,首先求出△PEF的面積的表達式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解;(3)如答圖3所示,分三種情形,需要分類討論,分別求解.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線l:y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸、y軸交于A、B兩點,A(﹣2,0),B(0,1).
(1)求直線l的函數(shù)表達式;
(2)若P是x軸上的一個動點,請直接寫出當(dāng)△PAB是等腰三角形時P的坐標;
(3)在y軸上有點C(0,3),點D在直線l上,若△ACD面積等于4,求點D的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD為等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,AD= ,E為CD中點,連接AE,且AE=2 ,∠DAE=30°,作AE⊥AF交BC于F,則BF=( )
A.1
B.3﹣
C. ﹣1
D.4﹣2
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,⊙M過原點O,與x軸交于A(4,0),與y軸交于B(0,3),點C為劣弧AO的中點,連接AC并延長到D,使DC=4CA,連接BD.
(1)求⊙M的半徑;
(2)證明:BD為⊙M的切線;
(3)在直線MC上找一點P,使|DP﹣AP|最大.
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【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AC是直徑,過點O作OD⊥AB于點D,延長DO交⊙O于點P,過點P作PE⊥AC于點E,作射線DE交BC的延長線于F點,連接PF.
(1)若∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的長;(結(jié)果保留π)
(2)求證:OD=OE;
(3)求證:PF是⊙O的切線.
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【題目】有甲、乙、丙三種糖果混合而成的什錦糖100千克,其中各種糖果的單價和千克數(shù)如表所示,商家用加權(quán)平均數(shù)來確定什錦糖的單價.
甲種糖果 | 乙種糖果 | 丙種糖果 | |
單價(元/千克) | 15 | 25 | 30 |
千克數(shù) | 40 | 40 | 20 |
(1)求該什錦糖的單價.
(2)為了使什錦糖的單價每千克至少降低2元,商家計劃在什錦糖中加入甲、丙兩種糖果共100千克,問其中最多可加入丙種糖果多少千克?
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【題目】有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù):
第一個數(shù)是 ;
第二個數(shù)是 ;
第三個數(shù)是 ;
…
對任何正整數(shù)n,第n個數(shù)與第(n+1)個數(shù)的和等于 .
(1)經(jīng)過探究,我們發(fā)現(xiàn):
設(shè)這列數(shù)的第5個數(shù)為a,那么 , , ,哪個正確?
請你直接寫出正確的結(jié)論;
(2)請你觀察第1個數(shù)、第2個數(shù)、第3個數(shù),猜想這列數(shù)的第n個數(shù)(即用正整數(shù)n表示第n數(shù)),并且證明你的猜想滿足“第n個數(shù)與第(n+1)個數(shù)的和等于 ”;
(3)設(shè)M表示 , , ,…, ,這2016個數(shù)的和,即 ,
求證: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】李航想利用太陽光測量樓高.他帶著皮尺來到一棟樓下,發(fā)現(xiàn)對面墻上有這棟樓的影子,針對這種情況,他設(shè)計了一種測量方案,具體測量情況如下:如示意圖,李航邊移動邊觀察,發(fā)現(xiàn)站到點E處時,可以使自己落在墻上的影子與這棟樓落在墻上的影子重疊,且高度恰好相同.此時,測得李航落在墻上的影子高度CD=1.2m,CE=0.6m,CA=30m(點A、E、C在同一直線上).已知李航的身高EF是1.6m,請你幫李航求出樓高AB.
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