【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AC是直徑,過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,延長(zhǎng)DO交⊙O于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E,作射線DE交BC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn),連接PF.
(1)若∠POC=60°,AC=12,求劣弧PC的長(zhǎng);(結(jié)果保留π)
(2)求證:OD=OE;
(3)求證:PF是⊙O的切線.
【答案】
(1)解:∵AC=12,
∴CO=6,
∴ = =2π;
答:劣弧PC的長(zhǎng)為:2π
(2)證明:∵PE⊥AC,OD⊥AB,
∠PEA=90°,∠ADO=90°
在△ADO和△PEO中,
,
∴△POE≌△AOD(AAS),
∴OD=EO
(3)證明:
法一:
如圖,連接AP,PC,
∵OA=OP,
∴∠OAP=∠OPA,
由(2)得OD=EO,
∴∠ODE=∠OED,
又∵∠AOP=∠EOD,
∴∠OPA=∠ODE,
∴AP∥DF,
∵AC是直徑,
∴∠APC=90°,
∴∠PQE=90°
∴PC⊥EF,
又∵DP∥BF,
∴∠ODE=∠EFC,
∵∠OED=∠CEF,
∴∠CEF=∠EFC,
∴CE=CF,
∴PC為EF的中垂線,
∴∠EPQ=∠QPF,
∵△CEP∽△CAP
∴∠EPQ=∠EAP,
∴∠QPF=∠EAP,
∴∠QPF=∠OPA,
∵∠OPA+∠OPC=90°,
∴∠QPF+∠OPC=90°,
∴OP⊥PF,
∴PF是⊙O的切線.
法二:
設(shè)⊙O的半徑為r.
∵OD⊥AB,∠ABC=90°,
∴OD∥BF,∴△ODE∽△CFE
又∵OD=OE,∴FC=EC=r﹣OE=r﹣OD=r﹣ BC
∴BF=BC+FC=r+ BC
∵PD=r+OD=r+ BC
∴PD=BF
又∵PD∥BF,且∠DBF=90°,
∴四邊形DBFP是矩形
∴∠OPF=90°
OP⊥PF,
∴PF是⊙O的切線.
【解析】(1)根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式l= 進(jìn)行計(jì)算即可;(2)證明△POE≌△ADO可得DO=EO;(3)連接AP,PC,證出PC為EF的中垂線,再利用△CEP∽△CAP找出角的關(guān)系求解.
【考點(diǎn)精析】利用切線的判定定理和弧長(zhǎng)計(jì)算公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;若設(shè)⊙O半徑為R,n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l,則l=nπr/180;注意:在應(yīng)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí),要注意公式中n的意義.n表示1°圓心角的倍數(shù),它是不帶單位的.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)A(﹣2,0).
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)在拋物線上有一點(diǎn)P,滿足S△AOP=1,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn),DE交AF于點(diǎn)M,點(diǎn)N為DE的中點(diǎn).
(1)若AB=4,求△DNF的周長(zhǎng)及sin∠DAF的值;
(2)求證:2ADNF=DEDM.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB的解析式為y=2x+4,交x軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B,以A為頂點(diǎn)的拋物線交直線AB于點(diǎn)D,交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C(0,﹣4).
(1)求拋物線的解析式;
(2)將拋物線頂點(diǎn)沿著直線AB平移,此時(shí)頂點(diǎn)記為E,與y軸的交點(diǎn)記為F,
①求當(dāng)△BEF與△BAO相似時(shí),E點(diǎn)坐標(biāo);
②記平移后拋物線與AB另一個(gè)交點(diǎn)為G,則S△EFG與S△ACD是否存在8倍的關(guān)系?若有請(qǐng)直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的大致圖象如圖,關(guān)于該二次函數(shù),下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.函數(shù)有最小值
B.對(duì)稱軸是直線x=
C.當(dāng)x< ,y隨x的增大而減小
D.當(dāng)﹣1<x<2時(shí),y>0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,BC=10cm,AD=8cm.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),與此同時(shí),垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā),以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移,分別交AB、AC、AD于E、F、H,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí),點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).
(1)當(dāng)t=2時(shí),連接DE、DF,求證:四邊形AEDF為菱形;
(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,所形成的△PEF的面積存在最大值,當(dāng)△PEF的面積最大時(shí),求線段BP的長(zhǎng);
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使△PEF為直角三角形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我市校計(jì)劃購買甲、乙兩種樹苗共200株來綠化校園,甲種樹苗每株25元,乙種樹苗每株30元,通過調(diào)查了解,甲乙兩種樹苗成活率分別是90%和95%.
(1)若購買這種樹苗共用去5600元,則甲、乙兩種樹苗各購買了多少株?
(2)如果要求這200株樹苗的成活率不低于93%,那么乙種樹苗至少要購買多少株.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,已知DE∥BC.
(1)△ADE與△ABC相似嗎?為什么?
(2)它們是位似圖形嗎?如果是,請(qǐng)指出位似中心.
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